Potenzreihen und ihre Konvergenzbereiche

 Wir definieren:

Definition (Potenzreihe, Entwicklungspunkt, Konvergenzbereich)

Sei (an)n  ∈  ℕ eine Folge in ℝ, und sei p  ∈  ℝ. Dann heißt für alle x  ∈  ℝ die Reihe

∑n an (x − p)n

die Potenzreihe mit Koeffizienten (an)n  ∈  ℕ und Entwicklungspunkt p im Punkt x. Die Menge

K  =  { x  ∈  ℝ | ∑n an (x − p)n konvergiert }

heißt der Konvergenzbereich der Potenzreihe ∑n an (x − p)n.

 Die Notation ∑n an (x − p)n verwenden wir in drei Bedeutungen:

(1)

Für jedes x  ∈  ℝ bedeutet ∑n an (x − p)n die Folge (sn(x))n  ∈  ℕ mit

sn(x)  =  ∑k ≤ n ak (x − p)k  für alle n.

(2)

Für jedes x  ∈  K bedeutet ∑n an (x − p)n den Limes der Folge (sn(x))n  ∈  ℕ.

(3)

∑n an (x − p)n fassen wir auch als Funktion f : K → ℝ auf, mit

f (x)  =  ∑n an (x − p)n  für alle x  ∈  K.

 Diese Mehrfachbedeutung ist in der Regel ungefährlich und erleichtert die Sprechweise. Will man Potenzreihen rein formal einführen, so kann man sie als Paar ((an)n  ∈  ℕ, p) bestehend aus einer Koeffizientenfolge (an)n  ∈  ℕ und einem Entwicklungspunkt p definieren. Einer solchen formalen Potenzreihe kann man für alle x  ∈  ℝ die Reihe ∑n an (x − p)n und weiter eine Funktion f : K → ℝ mit K wie in der Definition zuordnen. Man nennt dann f die durch die Potenzreihe definierte oder dargestellte Funktion.

 Einige Beispiele für Potenzreihen mit Entwicklungspunkt 0 sind:

Potenzreihe

Koeffizienten an

Konvergenzbereich K

∑n xn

1

] −1, 1 [

∑n ≥ 1 xnn

1n

[ −1, 1 [

∑n ≥ 1 (− x)nn

(−1)nn

] −1, 1 ]

∑n ≥ 1 xnnk,  k ≥ 2

1nk

[ −1, 1 ]

∑n xnn!

1n!

ℝ

∑n sn xn  mit  s  ∈  ℝ − ℕ

s (s − 1) … (s − n + 1)n!

[ −1, 1 ] für s > 1

] −1, 1 ] für −1 < s < 1

] −1, 1 [ für s < −1

 Dagegen ist die Reihe ∑n ≥ 1 1/nx der Riemannschen Zeta-Funktion keine Potenzreihe. Reihen des Typs ∑n ≥ 1 an/nx sind als Dirichlet-Reihen bekannt und werden in der analytischen Zahlentheorie studiert.