Konvergenzradien

Wir beginnen mit einer Untersuchung des Konvergenzverhaltens. Da die Potenzreihe ∑_n a_n (x − p)ⁿ in x genau dann konvergiert, wenn ∑_n a_n xⁿ in x − p konvergiert, können wir uns auf den Fall p = 0 beschränken. Der allgemeine Fall ergibt sich aus einer Verschiebung des Konvergenzbereichs um p. Die Konvergenz von ∑_n a_n xⁿ in ] −R, R [ ist gleichbedeutend mit der Konvergenz von ∑_n a_n (x − p)ⁿ in ] p − R, p + R [. In diesem Sinne sind nur die Koeffizienten für das Konvergenzverhalten einer Potenzreihe maßgeblich.

Die geometrische Reihe und der Konvergenzsatz von Weierstraß (in „Konvergente Funktionenfolgen“) bringt die Untersuchung in Gang:

Satz (Konvergenzverhalten von Potenzreihen, I)

Sei ∑_n a_n xⁿ eine Potenzreihe mit Konvergenzbereich K. Weiter sei

R = sup { x ≥ 0 | (a_n xⁿ)_{n  ∈  ℕ} ist beschränkt } ≤ ∞,

und es sei r  ∈  [ 0, R [. Dann gilt [ −r, r ] ⊆ K, und ∑_n a_n xⁿ konvergiert absolut und gleichmäßig auf [ −r, r ] gegen eine stetige Funktion.

Beweis

Für alle n sei f_n : [ −r, r ] → ℝ definiert durch f_n(x) = a_nxⁿ für alle x  ∈  [ −r, r ]. Wir zeigen, dass ∑_n ∥ f_n ∥ < ∞. Dann folgen die Behautpungen aus dem Konvergenzsatz von Weierstraß für Funktionenfolgen und der Stetigkeit der f_n.

Gegeben r wählen wir ein s zwischen r und R.

Sei s  ∈  ] r, R [. Nach Definition von R gibt es ein y*  ∈  ℝ mit

|a_n| sⁿ ≤ y* für alle n.

Für alle x  ∈  [ −r, r ] gilt dann

|a_n xⁿ| = |a_n| sⁿ ^|x|ⁿ_sⁿ ≤ y* (^r_s)ⁿ.

Damit ist

∥ f_n ∥ ≤ y* (^r_s)ⁿ für alle n.

Wegen r/s  ∈  ] 0, 1 [ gilt also nach der Konvergenz der geometrischen Reihe

∑_n ∥ f_n ∥ ≤ y* ∑_n (^r_s)ⁿ = y* ¹_1 − r/s = y* ^s_{s − r} < ∞.

Aus dem Satz erhalten wir:

Korollar (Konvergenzverhalten von Potenzreihen, II)

Sei ∑_n a_n xⁿ eine Potenzreihe mit Konvergenzbereich K, und sei

R = sup { x ≥ 0 | (a_n xⁿ)_{n  ∈  ℕ} ist beschränkt } ≤ ∞.

Dann gilt:

(a)	∑_n a_n xⁿ konvergiert auf ] −R, R [ gegen eine stetige Funktion f.

(b)	∑_n a_n xⁿ divergiert für alle x mit \|x\| > R.

Insbesondere ist also ] −R, R [ ⊆ K ⊆ [ −R, R ], und es gilt

R = sup { |x| | ∑_n a_n xⁿ konvergiert } ≤ ∞.

Ist R < ∞, so können, wie die Beispiele in obiger Tabelle zeigen, für die beiden Randpunkte − R und R alle vier denkbaren Fälle der Konvergenz und Divergenz eintreten.

Unsere Ergebnisse legen die Verwendung von „Radius“ nahe:

Definition (Konvergenzradius)

Sei ∑_n a_n xⁿ eine Potenzreihe. Dann heißt

R = sup { |x| | ∑_n a_n xⁿ konvergiert } ≤ ∞

der Konvergenzradius der Potenzreihe ∑_n a_n xⁿ.

Es gilt R = sup { x ≥ 0 | (a_n xⁿ)_{n  ∈  ℕ} ist beschränkt }, sodass wir auch diese Form zur Definition verwenden können.

Der Konvergenzradius lässt sich mit Hilfe folgender Formeln bestimmen, die sich aus dem Wurzel- bzw. Quotientenkriterium ergeben (Beweis als Übung):

Satz (Berechnung des Konvergenzradius)

Sei ∑_n a_n xⁿ eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R. Dann gilt, mit den Konventionen „1/0 = ∞“ und „1/∞ = 0“:

(a)	R = $\frac{1}{{limsup}_{n}^{n} \sqrt{{\|a}_{n} \|}}$ . (Formel von Cauchy-Hadamard)

(b)	Ist a_n ≠ 0 für alle n, so gilt im Fall der Existenz des Grenzwerts R = ¹_{lim_n \|a_n + 1/a_n\|}. (Formel von Euler)

Die Formel von Cauchy-Hadamard ist stets anwendbar, der Limes in der Formel von Euler existiert dagegen nicht in allen Fällen.

Die symmetrische Natur des Konvergenzbereichs

Für einen allgemeinen Entwicklungspunkt p ergibt sich folgendes Bild:

Über die Konvergenz in p − R und p + R ist keine allgemeine Aussage möglich.

Der Leser betrachte noch einmal die Diagramme zur Taylor-Entwicklung im letzten Kapitel. Die Konvergenzbereiche der Taylor-Reihen der dort betrachteten Funktionen lassen sich erahnen. Unsere neuen Ergebnisse zeigen, dass ihre (abgesehen von den Randpunkten) symmetrische Natur kein Zufall ist. Sie ist eine bemerkenswerte allgemeine Eigenschaft von Potenzreihen, die letztendlich auf eine Abschätzung durch eine geometrische Reihe zurückzuführen ist.

Positiv formuliert bedeutet die Symmetrie:

Konvergiert eine Potenzreihe ∑_n a_n (x − p)ⁿ in zwei Punkten

p + x₁ > p + x₀ > p, so konvergiert sie auch in p − x₀.

Damit erhalten wir, dass die Logarithmus-Reihe ∑_n (−1)^n − 1 (x − 1)ⁿ/n nicht nur im Intervall [ 1, 2 ], sondern in ] 0, 2 ] konvergiert (vgl. 4. 6).

Negativ formuliert bedeutet die Symmetrie:

Ist f : P → ℝ nicht stetig nach x  ∈  ℝ fortsetzbar, so kann eine f darstellende

Potenzreihe ∑_n a_n (x − p)ⁿ höchstens den Konvergenzradius |p − x| besitzen.

Denn wäre R > |p − x|, so würde die Potenzreihe eine an der Stelle x definierte stetige Funktion darstellen, was aufgrund der Voraussetzungen nicht sein kann.

Beispiele

(1)	Eine Potenzreihendarstellung log(x) = ∑_n a_n (x − 5)ⁿ in einer Umgebung der Stelle 5 kann höchstens den Konvergenzradius 5 besitzen.

(2)	Eine Potenzreihendarstellung tan(x) = ∑_n a_n (x − π/4)ⁿ in einer Umgebung von π/4 kann höchstens den Konvergenzradius π/4 besitzen.

Wir werden gleich sehen, dass neben Polstellen wie in diesen Beispielen auch unendliche Ableitungen (wie zum Beispiel für die Wurzelfunktion im Punkt 0) den Konvergenzradius einschränken.