Ausblick: Der Satz von Peano-Borel

Im Gegenbeispiel von Cauchy konvergiert die Taylor-Reihe von f zwar nur im Entwicklungspunkt 0 gegen f, aber ihr Konvergenzbereich ist ganz ℝ (vgl. 4. 6). Folgende Frage ist noch unbeantwortet:

Konvergiert T_p f (x) immer in einer Umgebung von p?

Auch hier ist die Antwort negativ. Es gibt eine glatte Funktion f : ℝ → ℝ, deren Taylor-Reihe T₀ f nur im Nullpunkt konvergiert. Eine derartige Funktion wurde zuerst von Paul du Bois-Reymond 1876 konstruiert. Stärker gilt der folgende bemerkenswerte Satz von Peano (1884) und Émile Borel (1893):

Satz (Satz von Peano-Borel, vorgeschriebene Ableitungen)

Sei (c_n)_{n  ∈  ℕ} eine Folge in ℝ. Dann existiert eine glatte Funktion f : ℝ → ℝ mit

f ⁽ⁿ⁾(0) = c_n für alle n.

Bevor wir einen Beweis skizzieren, halten wir einige Folgerungen fest.

Korollar (jede Potenzreihe ist eine Taylor-Reihe)

Sei (a_n)_{n  ∈  ℕ} eine Folge in ℝ. Dann gibt es eine glatte Funktion f : ℝ → ℝ mit

T₀f = ∑_n a_n xⁿ.

Beweis

Wir setzen c_n = a_n n! für alle n. Ist nun f : ℝ → ℝ wie im Satz von Peano-Borel für die Folge (c_n)_{n  ∈  ℕ}, so gilt

T₀f (x) = ∑_n ^{f ⁽ⁿ⁾(0)}_n! xⁿ = ∑_n ^c_n_n! xⁿ = ∑_n a_n xⁿ.

Korollar (einpunktige Konvergenzbereiche für Taylor-Reihen)

Es gibt eine glatte Funktion f : ℝ → ℝ, deren Taylor-Reihe T₀ f (x) in allen x ≠ 0 divergiert.

Beweis

Nach dem letzten Korollar genügt es, irgendeine in allen Punkten x ≠ 0 divergente Potenzreihe ∑_n a_n xⁿ anzugeben. Dies ist zum Beispiel für ∑_n nⁿ xⁿ oder ∑_n n! xⁿ der Fall.

Wir skizzieren eine auf Peano zurückgehende Konstruktion einer Funktion mit vorgeschriebenen Ableitungen. Dabei folgen wir der Darstellung in „Peano’s unnoticed proof of Borel’s theorem“ von Ádám Besenyei (2014). Der Leser findet dort einen vollständigen Beweis.

Beweis des Satzes von Peano-Borel (Skizze)

Wir betrachten folgenden Ansatz, mit noch unbekannten Koeffizienten a_k:

f (x) = ∑_k ≥ 0 ^{a_k x^k}_{1 + b_k x²}, wobei b_k = |a_k|(k!)² für alle k.

Die Idee ist, die a_k so zu wählen, dass f die gewünschten Ableitungen an der Stelle 0 besitzt, d. h., f ⁽ⁿ⁾(0) = c_n für alle n. Die schnell wachsenden Nenner stellen sicher, dass f konvergiert und unendlich oft gliedweise differenzierbar ist. Zur Ermittlung der a_n berechnen wir die n-fachen Ableitungen

d_{k, n} = ^dⁿ_dxⁿ ^{a_k x^k}_{1 + b_k x²} (0) für alle k, n ≥ 0.

Dies ist vergleichsweise einfach möglich, wenn wir die geometrische Reihe verwenden. Für alle k und alle x mit b_k x² < 1 gilt

^{a_k x^k}_{1 + b_k x²} = a_k x^k ∑_j ≥ 0 (− 1)^j (b_k x²)^j = a_k ∑_j ≥ 0 (−1)^j b_k^j x^k + 2j.

Gliedweises Differenzieren zeigt nun, dass für alle k und n gilt:

$d_{n, k} = { \begin{matrix} n! (- 1)^{j} a_{k} b_{k}^{j} & falls n = k + 2 j für ein j \geq 0 \\ 0 & sonst. \end{matrix}$

Für jedes gerade n sind also nur d_{n, n}, d_{n, n − 2}, …, d_{n, 0} von Null verschieden und für jedes ungerade n nur d_{n, n}, d_{n, n − 2}, …, d_{n, 1}. Zudem gilt d_{n, n} = n! a_n. Unter der Voraussetzung der Konvergenz und unendlichen gliedweisen Differenzierbarkeit von f gilt also für alle n:

(+) ^{f ⁽ⁿ⁾(0)}_n! = ∑_{0 ≤ j ≤ n/2} d_{n, n − 2j} = a_n + ∑_{1 ≤ j ≤ n/2} (−1)^j a_n − 2j (b_n − 2j)^j

Wir setzen nun a₀ = c₀, a₁ = c₁ und definieren a_n für n ≥ 2 rekursiv derart, dass die rechte Seite von (+) für alle n gleich c_n/n! wird. Damit ist f definiert. Der Rest des Beweises besteht im Nachweis der Konvergenz und unendlichen gliedweisen Differenzierbarkeit von f.

Wir betrachten die im Beweis konstruierte Funktion f für die vorgegebenen Ableitungen

f ⁽ⁿ⁾(0) = c_n = nⁿ n!

Die graphisch scheinbar harmlose Funktion f offenbart durch wiederholtes Ableiten ihre wahre Komplexität. Die zugehörige Taylor-Reihe

T₀f (x) = ∑_n nⁿxⁿ

konvergiert nur für x = 0. Steht dies nicht im Widerspruch zum Satz von Peano? Für die Taylor-Polynome von f gelten − wie immer − die durch die o-Notation eingefangenen lokalen Approximationseigenschaften. Aber die Bereiche, in denen die Taylor-Polynome f gut approximieren, ziehen sich, im Gegensatz zu den „üblichen“ Beispielen, auf den Nullpunkt zusammen. Das folgende Diagramm visualisiert diese Tatsache. Alles ist konsistent.

noch einmal die Funktion f der Konstruktion wie oben zusammen mit einigen Taylor-Polynomen

f_n = Tⁿ₀f (x) = ∑_k ≤ n ^c_k_k! x^k = ∑_k ≤ n nⁿxⁿ