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Irrationale Verhältnisse in geometrischen Figuren

 Wir vergleichen zunächst die Beweise der Irrationalität von $\sqrt{2}$.

 In unseren Beweisen der Irrationalität der Quadratwurzel aus 2 und des Satzes von Gauß haben wir arithmetische und algebraische Eigenschaften benutzt, um zu zeigen, dass gewisse Zahlen nicht die Form n/m haben können. Im Folgenden wollen wir Verhältnisse, die in geometrischen Figuren auftreten, mit Hilfe einer rein geometrischen Argumentation als irrational erkennen. Der Überlieferung zufolge sind irrationale Verhältnisse sogar in dieser Weise von den Pythagoreern entdeckt worden.

 Entscheidendes Hilfsmittel ist die Wechselwegnahme oder der Euklidische Algorithmus. Dieser Algorithmus arbeitet in jedem Schritt mit zwei positiven reellen Größen a und b und führt folgende Aktion durch:

„Ziehe die kleinere von der größeren Größe ab.“

(Iterationsvorschrift für den Euklidischen Algorithmus)

Ist a < b, so wird also a von b abgezogen, und die Anweisung hinterlässt dann die Größen a und b − a. Ist b < a, so wird das Paar b und a − b erzeugt. Sind die beiden neuen Größen gleich, so stoppt der Algorithmus. Andernfalls wird die Anweisung für die beiden neuen Größen wiederholt.

 Im Allgemeinen wird die kleinere Größe mehr als einmal in die größere hineinpassen und damit eine Zeit lang der „aktuelle Maßstab“ bleiben. Sobald der verbliebene Rest aber kleiner wird als der aktuelle Maßstab, wird dieser Rest zum „neuen Maßstab“, mit dem nun der alte Maßstab gemessen wird. Diese Überlegung erklärt die Bezeichnung „Wechselwegnahme“. In der Tat ist es interessant mitzuschreiben, wie oft der aktuelle Maßstab jeweils in die aktuell zu messende Größe hineinpasst.

 Aus der Schule wird dem Leser vielleicht der Euklidische Algorithmus, angewendet auf zwei natürliche Zahlen n und m, bekannt sein. Er liefert den größten gemeinsamen Teiler von n und m. Für n = 30 und m = 75 lautet die Folge der produzierten Zahlenpaare zum Beispiel (30, 75), (30, 45), (30, 15), (15, 15), und 15 ist der größte gemeinsame Teiler von 30 und 75. Dies müssen wir für das Folgende aber gar nicht wissen. Entscheidend ist:

 Es gilt auch die Umkehrung: Ist a/b irrational, so bricht die Wechselwegnahme nicht ab. Für unser Ziel genügt aber die Aussage des Satzes. Wir betrachten zwei Größen a und b einer geometrischen Figur und argumentieren geometrisch, dass die Wechselwegnahme für diese Größen nicht abbrechen kann. Dies gelingt durch den Nachweis, dass die Wechselwegnahme ähnliche geometrische Figuren erzeugt und dadurch immer wieder die gleichen Messvorgänge produziert. Wir wollen diese Strategie am Quadrat und weiter dann am Pentagon durchführen.

 Wir beginnen mit einem Quadrat mit Seitenlänge a und Diagonale d.

 Als zweites Beispiel betrachten wir ein regelmäßiges Fünfeck (Pentagon) der Seitenlänge a und den durch die Diagonalen der Länge d des Fünfecks erzeugten Fünfstern (Pentagramm). Hierzu konstruieren wir zunächst ein Pentagon mit Zirkel und Lineal wie folgt:

 Damit können wir also mit Zirkel und Lineal folgende Figur konstruieren. Hierbei sei a die Länge der Seiten des Pentagons und d die Länge der Seiten des zugehörigen Pentagramms, das durch die Verbindung je zweier Ecken des Pentagons entsteht.