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Die Dezimaldarstellung reeller Zahlen, I

 Wir besprechen nun die Einführung der vertrauten Dezimaldarstellung reeller Zahlen auf der Grundlage unserer axiomatischen Beschreibung genauer. Im Kapitel über Ordnungseigenschaften hatten wir die beiden wesentlichen Schritte hierzu bereits vorgestellt:

1. Schritt: Endliche Dezimaldarstellungen

Für n  ∈  ℕ und d₁, …, d_k  ∈  { 0, …, 9 } setzen wir

n, d₁ … d_k  =  n  +  ∑_{1 ≤ i ≤ k} d_i/10ⁱ

Im Folgenden bedeutet n, d₁ … d_k erneut sowohl einen Wert (in ℚ) als auch einen Ausdruck.

 Oft wird statt des trennenden Kommas auch ein Punkt verwendet. Dies ist insbesondere dann nützlich, wenn Dezimalbrüche in einer Menge auftauchen, etwa in { 0.2, 1.45, 3.15 }. Alternativ kann man hier { 0,2 ; 1,45 ; 3,15 } schreiben.

2. Schritt: Unendliche Dezimaldarstellungen

 Für n  ∈  ℕ und d₁, d₂, d₃, …  ∈  { 0, …, 9 } setzen wir

n, d₁ d₂ d₃ …  =  sup({ n, d₁… d_k | k ≥ 1 }).

Zur Definition des unendlichen Dezimalbruchs n, d₁ d₂ d₃ …wird entscheidend das Vollständigkeitsaxiom verwendet. Die Menge des Supremums ist nichtleer und nach oben beschränlkt durch n + 1.

 Wir wollen nun zeigen, dass jede Zahl x wenigstens eine Dezimaldarstellung besitzt. Sei hierzu x ≥ 0 eine reelle Zahl. Weiter sei n die größte natürliche Zahl, die kleinergleich x ist. Wir definieren nun rekursiv natürliche Zahlen d_k für alle k ≥ 1 durch:

d₁  =  „das größte d  ∈  { 0, …, 9 } mit  n, d  ≤  x“,

d_k + 1  =  „das größte d  ∈  { 0, …, 9 } mit n, d₁ … d_k d  ≤  x“.

Die Idee ist, dass jeder Dezimalbruch n, d₁ … d_k die im Rahmen der k-stelligen Dezimalbrüche bestmögliche Annäherung von unten an die reelle Zahl x ist. Wie erhofft klafft zwischen allen endlichen Approximationen und x dann keine Lücke:

 Damit haben wir bewiesen, dass jede reelle Zahl x eine Dezimaldarstellung der Form

x  =  ± n, d₁ d₂ d₃ …

besitzt. Dabei haben wir die Archimedische Anordnung der reellen Zahlen benutzt, also eine Folgerung des Vollständigkeitsaxioms.

 Die Dezimalbruchentwicklung einer reellen Zahl ist nicht immer eindeutig, denn es gilt zum Beispiel

1,0000…  =  1  =  sup { 0.9, 0.99, 0.999, … }  =  0,999…,

0,2100…  =  0,21  =  sup { 0.2, 0.209, 0.2099, 0.20999, … }  =  0,20999…

Bei den zweiten Identitäten verwenden wir die Archimedischen Anordnung, bei den dritten die Definition eines unendlichen Dezimalbruchs.

 Das Phänomen der Nichteindeutigkeit lässt sich durch eine geometrische Interpretation der Dezimalbruchentwicklung, die ganz ohne Rechnung auskommt, weiter beleuchten:

b-adische Darstellungen

 Allgemeiner kann man statt der Basis 10 eine beliebige natürliche Basis b ≥ 2 festlegen. Für n  ∈  ℕ und a₁, …, a_k  ∈  { 0, …, b − 1 } definieren wir zunächst die endlichen b-adischen Brüche durch

n, a₁ … a_k  =  n  +  a₁/b  +  a₂/b²  +  …  +  a_k/b^k  =  n  +  ∑_{1 ≤ i ≤ k} a_i/bⁱ.

Nun können wir die unendlichen b-adischen Brüche n, a₁ a₂ a₃ definierend durch

n, a₁ a₂ …  =  sup({ n, a₁ … a_k | k ≥ 1 }).

Im Fall b = 2 spricht man auch von Dualdarstellungen und dyadischen Brüchen.

 Zur Unterscheidung und Spezifizierung der verwendeten Basis b verwenden wir Notationen wie (n, a₁ … a_k)₁₀ (für b = 10) oder (0,10101)₃ (für b = 3).

 Diese Ausführungen mögen an dieser Stelle genügen. Sobald wir unendliche Reihen zur Verfügung haben, werden wir auf die unendlichen Dezimaldarstellungen noch einmal zurückkommen. Es ist dann zum Beispiel leicht zu sehen, dass die rationalen Zahlen durch periodische Dezimaldarstellungen charakterisiert sind.

Von den Dezimaldarstellungen zu den Struktureigenschaften

 Wir haben gesehen, wie wir die Dezimaldarstellung reeller Zahlen aus den Axiomen für die reellen Zahlen gewinnen können. Umgekehrt ist es instruktiv, die wesentlichen Struktureigenschaften der reellen Zahlen mit Hilfe einer nicht weiter hinterfragten Dezimaldarstellung − die ja zweifellos eine Stütze des Vorwissens darstellt − zu begründen. So kann man zum Beispiel mit Hilfe der Dezimaldarstellung leicht sehen, dass die rationalen Zahlen dicht in den reellen Zahlen liegen:

 Stärker lässt sich auch das Vollständigkeitsaxiom mit Hilfe von Dezimaldarstellungen beweisen:

Vollständigkeit und Überabzählbarkeit

 Schließlich wollen wir nun noch zeigen, wie wir ein Ergebnis, das wir mit Hilfe der Dezimaldarstellung bewiesen haben, auch allein mit Hilfe der axiomatischen Beschreibung der reellen Zahlen ohne jede Darstellungstheorie erhalten können: Das Vollständigkeitsaxiom impliziert überraschend direkt, dass die reellen Zahlen überabzählbar sind. Ein einfacher Beweis hierzu verwendet das Prinzip der Intervallschachtelung: