Inhalt
Vorwort
Die Themen des Buches
1. Abschnitt Reelle und komplexe Zahlen
1. Warum die rationalen Zahlen nicht genügen
Die Entdeckung der alten Griechen
Der Satz von Gauß
Algebraische Zahlen
Weitere Beweise der Irrationalität von
Ausblick: hoch
2. Die Überabzählbarkeit von ℝ
Das Hilbertsche Hotel
Abzählbare Mengen
Das Diagonalverfahren
Ausblick: Elementare Mächtigkeitstheorie
3. Algebraische Eigenschaften von ℝ
Die Körperaxiome
Subtraktion und Division
„Minus mal Minus gleich Plus“ und die Sonderrolle der Null
Summen und Produkte
Ausblick: Endliche Körper
4. Ordnungseigenschaften von ℝ
Die Ordnungsaxiome
Verbindung zwischen Arithmetik und Ordnung
Supremum und Infimum
Das Vollständigkeitsaxiom
Die Archimedische Anordnung der reellen Zahlen
Die Existenz von Wurzeln
Das Prinzip der Intervallschachtelung
Das arithmetische, geometrische und harmonische Mittel
Dezimalbrüche und b-adische Brüche
Die Axiome für die reellen Zahlen
Ausblick: Konstruktion und Charakterisierung von ℝ
5. Die komplexen Zahlen
Eine Multiplikation für die Ebene
Die komplexen Zahlen ℂ
Die imaginäre Einheit
Real- und Imaginärteil
Der Betrag einer komplexen Zahl
Komplexe Quadratwurzeln
Ausblick: Quaternionen und Oktaven
6. Algebraische Gleichungen
Das Abspalten von Nullstellen
Lösen quadratischer Gleichungen
Bestimmung der dritten Einheitswurzeln
Zum Fundamentalsatz der Algebra
Ausblick: Lösungsformeln für Gleichungen höheren Grades
2. Abschnitt Folgen und Reihen
1. Konvergente Folgen
Folgen
Der Grenzwertbegriff
Die allgemeine Grenzwertdefinition
Die Eindeutigkeit des Grenzwerts
Die Limesregeln
Wurzeln und rationale Exponenten
Das Heron-Verfahren zur Wurzelberechnung
Konvergenz in ℂ
Die Unendlichkeitssymbole und uneigentliche Konvergenz
Ausblick: Kettenbrüche
2. Häufungspunkte von Folgen und Mengen
Teilfolgen
Der Satz von Bolzano-Weierstraß
Häufungspunkte für Mengen
Die Sprechweisen „unendlich oft“ und „schließlich“
Häufungspunkte in ℂ
Ausblick: Kondensationspunkte
3. Cauchy-Folgen
Der Konvergenzsatz
Limes Inferior und Superior
Ausblick: Varianten der Axiomatisierung der reellen Zahlen
4. Unendliche Reihen
Partialsummen und Reihen
Limesregeln für Reihen
Elementare Bestimmung von unendlichen Summen
Die geometrischen Reihen
Die harmonische Reihe
Unendliche Dezimalbrüche als Reihen
Unendliche Produkte
Ausblick: Cesàro-Summen
5. Konvergenzkriterien für Reihen
Alternierende Reihen
Absolute und bedingte Konvergenz
Das Majorantenkriterium
Geometrische Reihen als Majoranten
Blockbildung für monotone fallende Summanden
Abelsche Summation
Unendliche Reihen und Produkte komplexer Zahlen
Ausblick: Das Basler Problem und die Zeta-Funktion
6. Umordnungen und Produkte
Unendliche Umordnungen
Produkte von Reihen
Das Cauchy-Produkt
Ausblick: Allgemeine Doppelsummen
7. Die Exponentialreihe
Das Additionstheorem
Die komplexe Exponentialfunktion
Zur Motivation der Exponentialreihe
Ausblick: Die binomischen Reihen
3. Abschnitt Stetige Funktionen
1. Die Limesstetigkeit
Der anschauliche Stetigkeitsbegriff
Die Limesstetigkeit
Die Stetigkeit der Exponentialfunktion
Der Identitätssatz für stetige Funktionen
Stetige Fortsetzungen
Grenzwerte für Funktionen
Klassifikation der Unstetigkeit
Die Stetigkeit in ℂ
Ausblick: Limes Superior und Inferior für Funktionen
2. Die Umgebungsstetigkeit
Die Epsilon-Delta-Bedingung
Der Äquivalenzsatz
Die Stetigkeit der Umkehrfunktion
Gleichmäßige Stetigkeit und Lipschitz-Stetigkeit
Die Umgebungsstetigkeit in ℂ
Ausblick: Feinanalyse der gleichmäßigen Stetigkeit
3. Stetige Funktionen auf kompakten Intervallen
Kompakte Intervalle
Der Zwischenwertsatz von Bolzano-Cauchy
Der Extremwertsatz von Weierstraß
Der Satz von Heine über gleichmäßige Stetigkeit
Verwendung des Bisektionsverfahren
Ausblick: Folgenkompakte Mengen reeller Zahlen
4. Die reelle Exponentialfunktion
Der natürliche Logarithmus
Die Limesdarstellung der Exponentialfunktion
Die allgemeine Exponentialfunktion
Der Logarithmus zu einer positiven Basis
Potenzfunktionen mit reellem Exponenten
Ausblick: Funktionalgleichungen
5. Die komplexe Exponentialfunktion
Die Kreisaufwicklung
Sinus und Kosinus
Bilder der komplexen Exponentialfunktion
Polarkoordinaten und Argument
Einheitswurzeln und Berechnung des Kreisumfangs
Tangens und Kotangens
Die Arkusfunktionen
Sekans und Kosekans
Ausblick: Die Hyperbelfunktionen
6. Konvergente Funktionenfolgen
Punktweise Konvergenz
Gleichmäßige Konvergenz
Die Supremumsnorm
Bedingungen für gleichmäßige Konvergenz
Gleichmäßige Approximation durch Polynome
Funktionenfolgen in ℂ
Ausblick: Der Satz von Dini
4. Abschnitt Differentiation
1. Differentialquotienten
Die Ableitung einer Funktion
Lineare Approximation
Die Stetigkeitsformulierung der Differenzierbarkeit
Die o-Notation von Landau
Differenzierbarkeit in allen Punkten
Grundlegende Ableitungen
Der symmetrische Differentialquotient
Allgemeine beidseitige Differentialquotienten
Links- und rechtsseitige Differenzierbarkeit
Ausblick: Stetige nirgends differenzierbare Funktionen
2. Ableitungsregeln
Die Linearität
Die Produktregel
Die Kettenregel
Die Quotientenregel
Die Ableitung der Umkehrfunktion
Die logarithmische Ableitung
Ableitung der elementaren Funktionen
Differenzenquotienten und ihr Kalkül
Mehrfache Differenzierbarkeit
Ausblick: Komplexe Differentiation
3. Der Mittelwertsatz
Kritische Punkte und der Satz von Darboux
Der Satz von Rolle und der Mittelwertsatz
Die Differentialgleichungen f ′ = 0 und f ′ = f
Zur Lipschitz-Stetigkeit differenzierbarer Funktionen
Die Regeln von l’Hospital
Ausblick: Ableitung Null
4. Monotonie und lokale Extremwerte
Die Sprechweisen „links und rechts von einer Stelle“
Das Steigungs-Lemma
Lokale Extrema
Monotonie und Ableitung
Drei hinreichende Kriterien für lokale Extrema
Ein Ausschlusskriterium
Mehrfache kritische Punkte
Implikationen für lokale Extrema
Ausblick: Irreguläre lokale Extremwerte
5. Die Krümmung
Konvexe und konkave Funktionen
Kriterien der Konvexität
Analytische Bestimmung der Krümmung
Wendepunkte
Krümmungskreise
Schmiegeparabeln
Das Newton-Verfahren
Kurvendiskussion
Ausblick: Die λ-Formulierung der Konvexität
6. Die Taylor-Entwicklung
Die Taylor-Polynome
Der allgemeine Approximationssatz
Visualisierungen von Taylor-Polynomen
Der Satz von Taylor
Taylor-Reihen
Konvergenzergebnisse
Ausblick: Die Polynom-Interpolation
7. Potenzreihen
Potenzreihen und ihre Konvergenzbereiche
Konvergenzradien
Gliedweises Differenzieren
Die Logarithmus- und Arkustangensreihe
Der Abelsche Grenzwertsatz
Der Ring der Potenzreihen
Potenzreihen in ℂ
Ausblick: Der Satz von Peano-Borel
Ergänzungen
E1 Irrationale Verhältnisse in geometrischen Figuren
E2 Die Dezimaldarstellung reeller Zahlen, I
E3 Die geometrische Deutung der Multiplikation in ℂ
E4 Aneignung des Grenzwertbegriffs
E5 Die Dezimaldarstellung reeller Zahlen, II
E6 Untersuchung spezieller Reihen
E7 Visualisierungen stetiger Funktionen, I
E8 Visualisierungen stetiger Funktionen, II
E9 Die elementaren Funktionen in Natur und Geometrie
E10 Zur Bedeutung der Ableitung
E11 Zum Krümmungsbegriff und Newton-Verfahren
E12 Taylor-Entwicklungen
Übungen
1.1 Warum die rationalen Zahlen nicht genügen
1.2 Die Überabzählbarkeit von ℝ
1.3 Algebraische Eigenschaften von ℝ
1.4 Ordnungseigenschaften von ℝ
1.5 Die komplexen Zahlen
1.6 Algebraische Gleichungen
2.1 Konvergente Folgen
2.2 Häufungspunkte für Folgen und Mengen
2.3 Cauchy-Folgen
2.4 Unendliche Reihen
2.5 Konvergenzkriterien für Reihen
2.6 Umordnungen und Produkte
2.7 Die Exponentialreihe
3.1 Die Limesstetigkeit
3.2 Die Umgebungsstetigkeit
3.3 Stetige Funktionen auf kompakten Intervallen
3.4 Die reelle Exponentialfunktion
3.5 Die komplexe Exponentialfunktion
3.6 Konvergente Funktionenfolgen
4.1 Differentialquotienten
4.2 Ableitungsregeln
4.3 Der Mittelwertsatz
4.4 Monotonie und lokale Extremwerte
4.5 Die Krümmung
4.6 Die Taylor-Entwicklung
4.7 Potenzreihen
Anhänge
1. Voraussetzungen und Notationen
Mengen
Zahlen
Relationen und Funktionen
Junktoren und Quantoren
Indirekte Beweise und Widerspruchsbeweise
Vollständige Induktion
2. Bezüge zur Schulmathematik
3. Literatur
4. Notationen
5. Index