2.4 Topologie metrischer Räume

Übung 1

Sei (X, d) ein metrischer Raum. Zeigen Sie:

(a)

Für alle x, y  ∈  X mit x ≠ y gibt es eine Umgebung U von x und eine Umgebung V von y mit U ∩ V = ∅.

(b)

Für alle x  ∈  X ist { x } abgeschlossen.

Übung 2

Sei (X, d) ein metrischer Raum. Zeigen Sie, dass für alle abgeschlossenen A, B ⊆ V mit A ∩ B = ∅ gilt: Es gibt offene Mengen U ⊇ A und V ⊇ B mit U ∩ V = ∅.

Übung 3

Sei (X, d) ein metrischer Raum, und sei (xn)n  ∈  ℕ eine gegen x  ∈  X konvergente Folge in X, die nicht schließlich konstant ist. Zeigen Sie, dass x ein Häufungspunkt von { xn | n  ∈  ℕ } ist.

Übung 4

Sei (X, d) ein metrischer Raum. Weiter seien P ⊆ X und p  ∈  P′. Zeigen Sie:

(a)

Es gibt eine Folge (xn)n  ∈  ℕ in P − { p } mit limn xn = p.

(b)

Für alle Umgebungen U von p ist U ∩ P unendlich.

Übung 5

Sei (X, d) ein metrischer Raum, und sei Y ⊆ X. Zeigen Sie, dass für alle V ⊆ Y die folgenden Aussagen äquivalent sind:

(a)

V ist eine offene Menge in (Y, d|Y).

(b)

Es gibt ein in (X, d) offenes U mit V = U ∩ Y.

Übung 6

Sei (X, d) ein metrischer Raum, und sei Y ⊆ X. Wir schreiben clX(P) für den Abschluss einer Menge P ⊆ X in (X, d) und clY(P) für den Abschluss einer Menge P ⊆ Y. Analoges gilt für das Innere und den Rand.

Zeigen Sie, dass für alle P ⊆ Y gilt:

(a)

clY(P)  =  clX(P)  ∩  Y,

(b)

intY(P)  ⊇  intX(P)  ∩  Y,

(c)

bdY(P)  ⊆  bdX(P)  ∩  Y.

Geben Sie weiter Gegenbeispiele für die anderen Inklusionen in (b), (c) an.

Übung 7

Seien (X1, d1), (X2, d2) metrische Räume, und sei d die Maximumsmetrik auf X = X1 × X2. Zeigen Sie, dass für alle P1 ⊆ X1 und P2 ⊆ X2 gilt:

(a)

cl(P1 × P2)  =  cl(P1)  ×  cl(P2),

(b)

int(P1 × P2)  =  int(P1)  ×  int(P2),

(c)

bd(P1 × P2)  =  (bd(P1)  ×  cl(P2))  ∪  (cl(P2)  ×  bd(P2)).

Übung 8

Beweisen Sie (in Anlehnung an den Beweis für ℝ) den Baireschen Kategoriensatz für vollständige metrische Räume.

Übung 9

Konstruieren Sie ein Analogon zur Cantor-Menge in der Ebene. Welche charakteristischen Eigenschaften hat diese Menge?

Übung 10

Sei f : (X, d) → (Y, e) stetig und bijektiv, und sei D ⊆ X dicht in X. Zeigen Sie, dass f[ D ] dicht in Y ist.

Übung 11

Sei A = { 0 } ∪ { 1/n | n ≥ 1 }. Zeigen Sie (unter der euklidischen Topologie auf A und ℕ):

(a)

Es gibt eine stetige Bijektion f : ℕ → A.

(b)

Es gibt keine stetige Bijektion f : A → ℕ.

Übung 12

Sei X eine Menge, und sei d die diskrete Metrik auf X. Bestimmen Sie alle Teilmengen von X, die zugleich offen und abgeschlossen sind. Bestimmen Sie weiter alle stetigen Funktionen f : (X, d) → (Y, e), mit einem beliebigen metrischen Raum (Y, e).

Übung 13

Seien d und e topologisch äquivalente Metriken auf X, und sei (xn)n  ∈  ℕ eine Folge in X. Zeigen Sie, dass die Folge in (X, d) genau dann konvergiert, wenn sie in (X, e) konvergiert. Zeigen Sie zudem, dass im Fall der Konvergenz die Grenzwerte übereinstimmen.

Übung 14

Seien d und e numerisch äquivalente Metriken auf X. Zeigen Sie:

(a)

Die Metriken d und e sind topologisch äquivalent.

(b)

Eine Folge (xn)n  ∈  ℕ in X ist genau dann eine Cauchy-Folge in (X, d), wenn sie eine Cauchy-Folge in (X, e) ist.

(c)

(X, d) ist genau dann vollständig, wenn (X, e) vollständig ist.

Übung 15

Für alle x  ∈  ℝ sei

r(x)  =  x1 + |x| .

Wir definieren für alle x, y  ∈  ℝ:

d(x, y)  =  |r(x) − r(y)|.

Zeigen Sie:

(a)

d ist eine unvollständige beschränkte Metrik auf ℝ.

(b)

d und die euklidische Metrik auf ℝ sind topologisch, aber nicht numerisch äquivalent.

Übung 16

Zeigen Sie, dass zwei Normen auf einem ℝ oder ℂ-Vektorraum V genau dann topologisch äquivalent sind, wenn sie numerisch äquivalent sind.

Übung 17

Sei f : (X, d) → (Y, e) surjektiv und stetig, und sei (X, d) wegzusammenhängend. Zeigen Sie, dass (Y, e) wegzusammenhängend ist.

Übung 18

Sei (X, d) wegzusammenhängend. Zeigen Sie, dass (X, d) zusammenhängend ist.

Übung 19

Zeigen Sie, dass der aus der Zackenlinie und dem Punkt p* bestehende Raum X ⊆ ℝ2 (vgl. das Diagramm im Text) unter der euklidischen Metrik topologisch zusammenhängend ist.

Übung 20

Sei (X, d) ein metrischer Raum. Zeigen Sie, dass die Zusammenhangsrelationen ∼ und ∼c Äquivalenzrelationen auf X sind. Zeigen Sie weiter, dass jede Wegzusammenhangskomponente eine Teilmenge einer Zusammenhangskomponente ist.

Übung 21

Zeigen Sie, dass für ein offenes U ⊆ ℝn äquivalent sind:

(a)

U ist zusammenhängend.

(b)

U ist wegzusammenhängend.

(c)

Je zwei Punkte in U können durch Streckenzüge verbunden werden, d. h., für alle x, y  ∈  U gibt es x1, …, xn  ∈  U mit x = x0, y = xk derart, dass { xk + t (xk + 1 − xk) | t  ∈  [ 0, 1 ] } ⊆ U für alle 1 ≤ k < n.

Übung 22

Sei X ⊆ ℝ. Zeigen Sie, dass unter der euklidischen Metrik äquivalent sind:

(a)

X ist zusammenhängend.

(b)

X ist wegzusammenhängend.

(c)

X ist ein Intervall.

Übung 23

Zeigen Sie, dass ℝ2 − ℚ2 unter der euklidischen Topologie wegzusammenhängend ist. Können Sie ein allgemeineres Ergebnis formulieren?

[ Betrachten Sie zum Beispiel Kreisbögen zwischen zwei Punkten. ]

Übung 24

Sei 𝕀 = ℝ − ℚ. Zeigen Sie, dass ℚ2 ∪ 𝕀2 unter der euklidischen Topologie wegzusammenhängend ist.

[ Betrachten Sie endlich und unendlich viele zusammengesetzte Geradenstücke mit einer rationalen von Null verschiedenen Steigung. ]

Übung 25

Sei 𝕀 = ℝ − ℚ. Zeigen Sie, dass

ℚ2,  𝕀2,  (ℚ × 𝕀)  ∪  (𝕀 × ℚ)

unter der euklidischen Topologie unzusammenhängend sind.

Übung 26

Sei K = { (x, y) | |(x, y)| = 1 }, und sei X ⊆ ℝ beliebig. Zeigen Sie durch ein Zusammenhangsargument, dass es unter den euklidischen Metriken auf K und X keine stetige Bijektion f : K → X gibt.

Übung 27

Zeigen Sie, dass die Menge aller offenen Intervalle mit rationalen Endpunkten eine Basis von ℝ unter der euklidischen Topologie bildet.

Übung 28

Sei (X, 𝒰) ein topologischer Raum, der eine abzählbare Basis besitzt. Zeigen Sie, dass es höchstens ℝ-viele offene und höchstens ℝ‑viele abgeschlossene Teilmengen von X gibt.

[ Verwenden Sie, dass |ℝ| = |℘(ℕ)| ].

Übung 29

Sei X eine Menge, und sei 𝒮 ⊆ ℘(X). Weiter seien

ℬ  =  { X }  ∪  { S1 ∩ … ∩ Sn | S1, …, Sn  ∈  𝒮 },

𝒰  =  { ⋃ 𝒱 | 𝒱 ⊆ ℬ }.

Zeigen Sie:

(a)

𝒰 ist eine Topologie auf X mit 𝒮 ⊆ 𝒰 und Basis ℬ.

(b)

Ist 𝒯 eine Topologie auf X mit 𝒮 ⊆ 𝒯, so ist 𝒰 ⊆ 𝒯.

Übung 30

Seien f : ℝ → ℝ und p  ∈  ℝ. Zeigen Sie, dass äquivalent sind:

(a)

f : (ℝ, 𝒰[ )) → (ℝ, 𝒰euk) ist stetig in p.

(b)

limx ↓ p f (x)  =  f (p)  (unter der euklidischen Metrik).

Übung 31

Was bedeutet die Stetigkeit in einem Punkt p  ∈  ℝ für

(a)

f : (ℝ, 𝒰euk) → (ℝ, 𝒰[ )),

(b)

f : (ℝ, 𝒰[ )) → (ℝ, 𝒰[ )) ?

[ Warnung: Die Stetigkeit für (b) lässt sich nicht mit einer einfachen Monotonie-Eigenschaft ausdrücken. ]

Übung 32

Sei X eine Menge, und sei I : ℘(X) → ℘(X). Für alle A, B ⊆ X gelte:

(a)  I(A)  ⊆  A, (b)  I(I(A))  =  A,
(c)  I(A ∩ B)  =  I(A)  ∩  I(B), (d)  I(X)  =  X.

Sei 𝒰 = { U ⊆ X | I(U) = U }. Zeigen Sie, dass (X, 𝒰) ein topologischer Raum ist, und dass int(A) = I(A) für alle A ⊆ X gilt.