Das Integral für komplexwertige Funktionen
Wir betrachten nun Funktionen f : [ a, b ] → ℂ. Der Definitionsbereich ist wie bisher ein reelles Intervall, die Funktionswerte liegen nun aber in den komplexen Zahlen. Durch eine Aufspaltung in Real- und Imaginärteil können wir ein komplexwertiges Integral erklären:
Definition (Integration komplexwertiger Funktionen)
Seien [ a, b ] ein reelles Intervall und f : [ a, b ] → ℂ. Dann heißt f integrierbar, falls die Funktionen Re(f) : [ a, b ] → ℝ und Im(f) : [ a, b ] → ℝ integrierbar sind. In diesem Fall heißt
I(f) = ∫baf = ∫baf (x) dx = ∫baRe(f) + i ∫baIm(f) ∈ ℂ
das Integral von f.
Der Leser vergleiche dies mit der Definition
f ′(p) = Re(f)′(p) + i Im(f)′(p) ∈ ℂ
der komplexwertigen Ableitung einer Funktion f : P → ℝ, P ⊆ ℝ, deren Realteil- und Imaginärteilfunktion differenzierbar im Punkt p ∈ P sind (4. 2 in Band 1).
Beispiel
Sei f : [ 0, 1 ] → ℂ mit f (x) = x + ix2 für alle x ∈ [ 0, 1 ]. Dann gilt
∫10f (x) dx = ∫10x + ix2 dx = ∫10x dx + i ∫10x2 dx = 12 + i3.
w = ∫10x + ix2 dx
Das komplexwertige Integral lässt sich nicht mehr unmittelbar als Flächeninhalt interpretieren. Die Interpretation als Mittelwert besteht weiterhin.
Wir bleiben vorerst bei den reellen Integralen. Bei der Untersuchung der Fourier-Reihen in Abschnitt 4 sind komplexwertige Integrale unentbehrlich, und wir werden die Eigenschaften dieser Integrale dort genauer betrachten.