Partitionen kompakter Intervalle

Definition (Partition, Zerlegungspunkte, Stützstellen)

Sei [ a, b ] ein reelles Intervall. Weiter seien t0, …, tn, x0, …, xn  ∈  ℝ mit

a  =  t0  ≤  x0  ≤  t1  ≤  x1  ≤  …  ≤  tn ≤ xn ≤ b.

Dann nennen wir p = (tk, xk)k ≤ n eine Partition von [ a, b ] der Länge n + 1 mit Zerlegungspunkten tk und Stützstellen xk. Wir setzen zusätzlich tn + 1 = b.

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Das Diagramm zeigt eine Partition p = (tk, xk)k ≤ 4 des reellen Intervalls [ 0, 1 ]. Die Länge der Partition ist 5. Die Stützstelle x2 fällt mit dem Zerlegungspunkt t2 zusammen (auch x2 = t3 wäre möglich). Per Konvention ist t5 als 1 definiert. Die gezeigte Partition werden wir in diesem Kapitel noch mehrfach verwenden.

 Weiter definieren wir :

Definition (Feinheit einer Partition)

Sei p = (tk, xk)k ≤ n eine Partition von [ a, b ] und sei δ ≥ 0. Dann heißt p eine Partition der Feinheit δ oder eine δ-Partition, falls gilt :

tk + 1 − tk  ≤  δ  für alle k ≤ n.

Die reelle Zahl

δ(p)  =  maxk ≤ n (tk + 1 − tk)

heißt die (minimale) Feinheit der Partition p.

 Ist p eine Partition der Feinheit δ und δ′ ≥ δ, so ist p auch eine Partition der Feinheit δ′. Weiter ist jede Partition p eines Intervalls [ a, b ] eine Partition der Feinheit δ(p), und es gilt δ(p) ≤ b − a.

 Besonders einfache Partitionen erhalten wir, wenn wir das betrachtete Intervall in gleichlange Stücke zerlegen :

Definition (äquidistante Partitionen)

Eine Partition (tk, xk)k ≤ n von [ a, b ] heißt äquidistant, falls gilt :

tk + 1 − tk  =  b − an + 1  für alle k ≤ n.

 Für eine äquidistante Partition p von [ a, b ] der Länge n + 1 gilt

δ(p)  =  b − an + 1  =  t1  −  t0.

Die Feinheiten einer Folge äquidistanter Partitionen, deren Längen gegen unendlich konvergieren, konvergieren damit gegen Null.

 Wichtige Typen von Partitionen sind:

Definition (linksseitige, mittige und rechtsseitige Stützstellen)

Sei p = (tk, xk)k ≤ n eine Partition von [ a, b ]. Dann hat p

(a)

linksseitige Stützstellen, falls xk = tk für alle k ≤ n,

(b)

mittige Stützstellen, falls xk = (tk + tk + 1)/2 für alle k ≤ n,

(c)

rechtsseitige Stützstellen, falls xk = tk + 1 für alle k ≤ n.

 Für die äquidistante Partition p = (tk, xk)k ≤ 3 von [ 0, 1 ] der Länge 4 mit mittigen Stützstellen gilt zum Beispiel

t0  =  0,  t1  =  14,  t2  =  12,  t3  =  34,  t4  =  1,

x0  =  18,  x1  =  38,  x2  =  58,  x3  =  78.