Die Berechnung von Integralen durch Riemann-Summen
Um mit dem Integralbegriff vertrauter zu werden, berechnen wir nun noch einige Integrale. Dabei beschränken wir uns auf äquidistante Partitionen, wodurch die Berechnungen einfacher werden. Aufgrund der oben erwähnten möglichen Beschränkung auf diese Partitionen ergeben sich korrekte Resultate.
Beispiel 1: Die Identität
Sei f : [ 0, 1 ] → ℝ mit
f (x) = x für alle x ∈ [ 0, 1 ].
Weiter sei p = (tk, xk)k ≤ n eine äquidistante Partition des Intervalls [ 0, 1 ] der Länge n + 1. Dann gilt:
| ∑p f | = ∑k ≤ n f (xk)(tk + 1 − tk) |
| = ∑k ≤ n xkn + 1. |
Wegen tk ≤ xk ≤ tk + 1 und
tk = kn + 1 für alle k ≤ n + 1
gilt also
1n + 1 ∑k ≤ n kn + 1 ≤ ∑p f ≤ 1n + 1 ∑k ≤ n k + 1n + 1.
Die Gauß-Formel
∑k ≤ n k = n(n + 1)2
liefert die Abschätzung
n(n + 1)2(n + 1)2 ≤ ∑p f ≤ (n + 1)(n + 2)2(n + 1)2.
Die linke und die rechte Seite liegen beliebig nahe bei 1/2, wenn n hinreichend groß und damit p hinreichend fein ist. Folglich ist f integrierbar und
I(f) = ∫10f (x) dx = ∫10x dx = 12.
Damit haben wir ein erstes Beispiel für den geometrischen Gehalt des Integrals kennengelernt, denn der Inhalt der Fläche unter der Identität im Intervall von 0 bis 1 ist aus elementargeometrischen Gründen gleich 1/2. Analog kann der − geometrisch nicht mehr offensichtliche − Flächeninhalt unter der Einheitsparabel im Intervall von 0 bis 1 berechnet werden:
Beispiel 2: Die Parabel
Sei g : [ 0, 1 ] → ℝ mit
g(x) = x2 für alle x ∈ [ 0, 1 ].
Sei wieder p = (tk, xk)k ≤ n eine äquidistante Partition von [ 0, 1 ]. Dann gilt wie oben:
| ∑p g | = ∑k ≤ n g(xk)(tk + 1 − tk) |
| = ∑k ≤ n xk2n + 1. |
Damit ist
1n + 1 ∑k ≤ n k2(n + 1)2 ≤ ∑p g ≤ 1n + 1 ∑k ≤ n (k + 1)2(n + 1)2.
Die Summenformel
∑k ≤ n k2 = n(n + 1)(2n + 1)6
liefert
n(2n + 1)6(n + 1)2 ≤ ∑p g ≤ (n + 2)(2n + 3)6(n + 1)2.
Die linke und die rechte Seite konvergieren gegen 1/3. Folglich gilt
I(g) = ∫10g(x) dx = ∫10x2 dx = 13.
Eine Verallgemeinerung der Berechnungen der beiden Beispiele zeigt, dass
∫b0x dx = b22 und ∫b0x2 dx = b33 für alle b ≥ 0.