Treppenfunktionen

Den Riemann- und Darboux-Summen einer zu integrierenden Funktion f können wir stückweise konstante Funktionen zuordnen, die f approximieren. Diese Funktionen und die Art der Approximation studieren wir nun genauer.

Definition (Treppenfunktion)

Ein g : [ a, b ] → ℝ heißt eine Treppenfunktion, falls es eine Partition p = (t_k)_k ≤ n von [ a, b ] und c₀, …, c_n  ∈  ℝ gibt, sodass für alle k ≤ n gilt:

g(x) = c_k für alle x  ∈  ] t_k, t_k + 1 [.

Eine Treppenfunktion g auf [ a, b ]

An den Intervallgrenzen t_k kann eine Treppenfunktion beliebige Werte annehmen. Eine Treppenfunktion nimmt nur endlich viele Werte an, aber nicht jede Funktion mit endlichem Wertebereich ist eine Treppenfunktion.

Eine nützliche Notation für Treppenfunktionen verwendet Indikatorfunktionen, die wir bei der Diskussion des Jordan-Inhalts bereits kennengelernt haben:

Definition (die Indikatorfunktion 1^A_P von P bzgl. A)

Für P ⊆ A ⊆ ℝ sei 1^A_P : A → ℝ definiert durch

1^A_P(x) = 1 falls x  ∈  P, 1^A_P(x) = 0 falls x  ∉  P.

Ist A festgelegt − etwa ein Intervall [ a, b ] − so schreiben wir kurz 1_P statt 1^A_P.

Die Treppenfunktionen auf [ a, b ] sind genau die Linearkombinationen von Indikatorfunktionen von Intervallen auf [ a, b ], also Funktionen der Form

g = ∑_k ≤ n c_k1_{I_k}, (Darstellung von Treppenfunktionen)

wobei die Mengen I_k beliebige Intervalle in [ a, b ] sind, die nicht notwendig disjunkt sein müssen. Aus der Integrierbarkeit von 1_I : [ a, b ] → ℝ für Intervalle I ⊆ [ a, b ] und der Linearität des Integrals folgt, dass

I(g) = I(∑_k ≤ n c_k1_{I_k}) = ∑_k ≤ n c_k L(I_k),

wobei L(I) = sup(I) − inf (I) die Länge eines Intervalls I ist. Die rechte Seite hat die Form einer Riemann-Summe. Wir definieren:

Definition (zugeordnete Treppenfunktion)

Sei f : [ a, b ] → ℝ, und sei p = (t_k, x_k)_k ≤ n eine Partition von [ a, b ]. Dann heißt

f_p = ∑_k ≤ n f (x_k) 1_{] t_k, t_k + 1 [} + ∑_{t  ∈  { t₀, …, t_n + 1 }} f (t) 1_{ t }

die f und p zugeordnete Treppenfunktion.

Durch die zweite Summe stimmen f_p und f an den Zerlegungspunkten der Partition überein. Kommt es uns nur auf numerische Überlegungen an, so können wir die zweite Summe weglassen, das Integral von f_p ändert sich dadurch nicht.

Die f und p zugeordnete Treppenfunktion f_p

Nach Konstruktion gilt ∑_pf = I(f_p). Eine Riemann-Summe ist also das Integral der ihr zugeordneten Treppenfunktion. Ist f integrierbar und sind p_n, n  ∈  ℕ, Partitionen mit gegen null konvergierenden Feinheiten, so gilt

I(f) = lim_n ∑_{p_n} f = lim_n I(f_{p_n}).

Auch das Ober- und Unterintegral können wir mit Hilfe von Treppenfunktionen elegant darstellen (Beweis als Übung):

Satz (Treppenfunktionen und Ober- und Unterintegral)

Sei f : [ a, b ] → ℝ beschränkt. Dann gilt:

S f = inf { I(h) | h ist eine Treppenfunktion auf [ a, b ] mit f ≤ h },

s f = sup { I(g) | g ist eine Treppenfunktion auf [ a, b ] mit g ≤ f }.

In Analogie zu f_p definieren wir:

Definition (zugeordnete obere und untere Treppenfunktion)

Sei f : [ a, b ] → ℝ, und sei p = (t_k)_k ≤ n eine Partition von [ a, b ]. Für alle k ≤ n seien M_k = sup_{x  ∈  [ t_k, t_k + 1 ]} f (x), m_k = inf_{x  ∈  [ t_k, t_k + 1 ]} f (x). Dann heißen

f^S_p = ∑_k ≤ n M_k 1_{] t_k, t_k + 1 [} + ∑_{t  ∈  { t₀, …, t_n + 1 }} f (t) 1_{ t } und

f^s_p = ∑_k ≤ n m_k 1_{] t_k, t_k + 1 [} + ∑_{t  ∈  { t₀, …, t_n + 1 }} f (t) 1_{ t }

die f und p zugeordnete obere bzw. untere Treppenfunktion.

Nach Konstruktion gilt S_p f = I(f^S_p) und s_p f = I(f^s_p).

Die f und p zugeordnete obere Treppenfunktion f^S_p

Aufgrund der Äquivalenz von Riemann- und Darboux-Integral gilt:

Satz (Treppenfunktionen und Riemann-Integral)

Sei f : [ a, b ] → ℝ. Dann sind äquivalent:

(a)	f ist integrierbar.

(b)	Für alle ε > 0 existieren Treppenfunktionen g und h auf [ a, b ] mit g ≤ f ≤ h und I(h − g) < ε.

(c)	Für alle ε > 0 existiert eine Partition p mit I(f^S_p − f^s_p) < ε.

Eine integrierbare Funktion lässt sich also von oben und von unten beliebig genau − im Sinne des Integralwerts, also einer reellen Zahl − durch Treppenfunktionen approximieren. Blicken wir auf unsere Konvergenzbegriffe für Funktionenfolgen, so erheben sich die folgenden vier Fragen:

Ist eine integrierbare Funktion f gleichmäßig oder wenigstens punktweise durch Treppenfunktionen approximierbar, d. h., gibt es Treppenfunktionen g_n mit

(1) f = lim_n g_n (gleichmäßig) bzw. (2) f = lim_n g_n (punktweise)?

Impliziert die (3) punktweise oder (4) gleichmäßige Konvergenz von Treppenfunktionen g_n gegen eine beschränkte Funktion f die Integrierbarkeit von f?

Die Antworten auf die vier Fragen lauten „(1) nein, (2) nein, (3) nein, (4) ja“. Das positive Ergebnis ist dabei für die Theorie besonders wertvoll:

Satz (Integrierbarkeit bei gleichmäßiger Approximation durch Treppenfunktionen)

Ist (g_n)_{n  ∈  ℕ} eine Folge von Treppenfunktionen auf [ a, b ], die gleichmäßig gegen f : [ a, b ] → ℝ konvergiert, so ist f integrierbar und I(f) = lim_n I(g_n).

Beweis

Sei ε > 0, und sei ε* < ε/(2(b − a)) (wobei wir a < b annehmen, sonst ist die Aussage klar). Nach Voraussetzung gibt es ein n₀, sodass für alle n ≥ n₀ gilt:

g_n − ε* ≤ f ≤ g_n + ε* (d. h. ∥ f − g_n ∥ < ε*)

Für alle n sind g_n − ε* und g_n + ε* Treppenfunktionen auf [ a, b ] mit

I((g_n + ε*) − (g_n − ε*)) = I(2 ε* 1_{[ a, b ]}) = 2 ε* (b − a) < ε.

Also ist f integrierbar. Für alle n ≥ n₀ gilt nach Monotonie

I(g_n) − ε ≤ I(g_n − ε*) ≤ I(f) ≤ I(g_n + ε*) ≤ I(g_n) + ε.

Dies zeigt, dass I(f) = lim_n I(g_n).

Später werden wir sehen, dass die punktweise Approximation durch Treppenfunktionen die Integrierbarkeit zerstören kann. Bei der Diskussion des Regelintegrals werden wir integrierbare Funktionen kennenlernen, die nicht gleichmäßig durch Treppenfunktionen approximiert werden können. Dass dies auch punktweise nicht immer möglich ist, werden wir im zweiten Abschnitt mit Hilfe der Cantor-Menge zeigen. Damit sind dann die vier Fragen beantwortet.