Stetige Funktionen

 Wir untersuchen nun, welche Funktionen integrierbar sind und welche nicht. Zu hoffen ist, dass sich Funktionen mit gutmütiger Oszillation integrieren lassen. Die Stetigkeit ist sicher eine solche Eigenschaft, und in der Tat sind alle stetigen Funktionen integrierbar. Zum Beweis verwenden wir entscheidend die gleichmäßige Stetigkeit einer stetigen Funktion auf einem kompakten Intervall.

Satz (Integrierbarkeit stetiger Funktionen)

Sei f : [ a, b ] → ℝ stetig. Dann ist f gleichmäßig durch Treppenfunktionen approximierbar und also insbesondere integrierbar.

Beweis

Sei ε > 0. Nach dem Satz von Heine ist f gleichmäßig stetig. Also existiert ein δ > 0 mit:

(+)  |f (x)  −  f (y)| <  ε  für alle x, y  ∈  [ a, b ] mit |x − y| < δ.

Sei p = (tk, xk)k ≤ n eine δ-Partition, und sei fp die f und p zugeordnete Treppenfunktion. Nach (+) gilt ∥ f − fp ∥ = supx  ∈  [ a, b ] |f (x) − fp(x)| ≤ ε.

 Wir können das Ergebnis noch verallgemeinern. Hierzu definieren wir:

Definition (stückweise stetig)

Eine Funktion f : [ a, b ] → ℝ heißt stückweise stetig, falls es eine Partition p = (tk, xk)k ≤ n von [ a, b ] gibt, sodass für alle k ≤ n gilt:

(a)  f↾] tk, tk + 1 [ ist stetig,  (b)  limx ↓ tk f (x) und limx ↑ tk + 1 f (x) existieren.

 Die Bedingung (b) besagt, dass sich für alle k die Funktion f|] tk, tk + 1 [ stetig nach [ tk, tk + 1 ] fortsetzen lässt. Diese Fortsetzungen lassen sich gleichmäßig durch Treppenfunktionen approximieren, und damit lässt sich auch f gleichmäßig durch Treppenfunktionen approximieren. Dies geschieht durch Zusammenfügen von Approximationen in den Partitionsintervallen, wobei wir an den Zerlegungspunkten tk unsere Approximation gleich f (tk) setzen. Wir erhalten:

Korollar (Integrierbarkeit stückweise stetiger Funktionen)

Sei f : [ a, b ] → ℝ stückweise stetig. Dann ist f gleichmäßig durch Treppenfunktionen approximierbar und also insbesondere integrierbar.

 Für beschränkte Funktionen des Typs „unstetig an höchstens endlich vielen Stellen“ − das sind mehr als die stückweise stetigen Funktionen! − gilt noch die Integrierbarkeit, aber im Allgemeinen ist keine gleichmäßige Approximation durch Treppenfunktionen mehr möglich. Wir kommen bei der Besprechung des Regelintegrals und in den Übungen darauf zurück.