Monotone Funktionen
Neben den stetigen Funktionen haben auch die monotonen Funktionen ein besonders gutmütiges Oszillationsverhalten. Auch sie lassen sich gleichmäßig durch Treppenfunktionen approximieren:
Satz (Integrierbarkeit monotoner Funktionen)
Sei f : [ a, b ] → ℝ monoton. Dann ist f gleichmäßig durch Treppenfunktionen approximierbar und also insbesondere integrierbar.
Beweis
Wir nehmen an, dass f monoton steigend ist. Der Beweis für monoton fallende Funktionen ist analog. Sei also ε > 0, und sei (yk)k ≤ n eine Partition von [ f (a), f (b) ] der Feinheit ε. Wir setzen:
t0 = a,
tk = sup { x ∈ [ a, b ] | f (x) < yk } für alle 1 ≤ k ≤ n.
Dann ist (tk)k ≤ n eine stützstellenfreie Partition von [ a, b ] (wobei tk = tk + 1 für gewisse k möglich ist). Wir definieren nun g : [ a, b ] → ℝ durch
| g(x) = yk | für alle x ∈ ] tk, tk + 1 [ und k ≤ n, |
| g(tk) = f (tk) | für alle k ≤ n + 1. |
Nach Definition der Zerlegungspunkte tk und der Monotonie von f gilt
yk ≤ f (x) < yk + 1 für alle k ≤ n und x ∈ ] tk, tk + 1 [.
Also ist g eine Treppenfunktion mit ∥ f − g ∥ ≤ ε.
Im Beweis starten wir mit einer ε-Partition des Intervalls [ f (a), f (b) ], das den Wertebereich von f umfasst. Diese Partition „lebt“ auf der y-Achse. Sie induziert eine Partition (tk)k ≤ n auf der x-Achse, mit deren Hilfe sich eine Treppenfunktion g definieren lässt, die im ε-Schlauch um f liegt. Genauer gilt
f − ε ≤ g ≤ f.
Ist f stetig und streng monoton steigend, so gilt
tk = f −1(yk) für alle k ≤ n + 1.
Die Supremums-Definition der tk liefert aber auch bei Sprüngen und Plateaus eine geeignete Partition der x-Achse. Der Beweis ist zudem ein Beispiel dafür, warum es manchmal vorteilhaft ist, „tk ≤ tk + 1“ statt „tk < tk + 1“ in der Definition einer Partition zu fordern.