Die Zerlegung in Positiv- und Negativteil

Von begrifflicher und anschaulicher Bedeutung für die Integrationstheorie ist schließlich die Zerlegung einer Funktion in ihren positiven und negativen Teil.

Definition (Positivteil und Negativteil)

Sei f : [ a, b ] → ℝ. Dann sind der Positivteil f ⁺ : [ a, b ] → ℝ und der Negativteil f ⁻ : [ a, b ] → ℝ von f definiert durch

f ⁺ = ¹₂ (|f| + f),

f ⁻ = ¹₂ (|f| − f).

Nach Definition gilt also:

f ⁺ = max(f, 0),

f ⁻ = − min(f, 0),

f = f ⁺ − f ⁻,

|f| = f ⁺ + f ⁻.

Weiter gilt x⁺ = id⁺(x) und x⁻ = id⁻(x) für die bei der Diskussion der Variation eingeführten Werte x⁺ und x⁻.

Die Integration respektiert diese Aufspaltung in zwei Funktionen:

Satz (Zerlegung in Positivteil und Negativteil)

Sei f : [ a, b ] → ℝ. Dann sind äquivalent:

(a)	f ist integrierbar.

(b)	f ⁺ und f ⁻ sind integrierbar.

In diesem Fall gilt I(f) = I(f ⁺) − I(f ⁻).

Der Satz präzisiert das bei der Diskussion des Jordan-Inhalts geschilderte Vorgehen, die signierte Messung der Integration durch zwei unsignierte Flächenmessungen zu ersetzen.