Stammfunktionen und Integrierbarkeit
Wir haben gezeigt, dass jede stetige Funktion f : I → ℝ eine Stammfunktion besitzt. Offen sind noch die folgenden Fragen:
Sei F : [ a, b ] → ℝ differenzierbar. Ist dann f = F′ integrierbar?
Sei g : [ a, b ] → ℝ integrierbar, und g besitze eine Stammfunktion G.
Ist dann g stetig (und damit G stetig differenzierbar)?
Die Antwort ist jeweils „nein“. Gegenbeispiele liefern nicht stetig differenzierbare Funktionen, wie wir sie in der Analysis 1 bereits kennengelernt haben:
F(x) = x2 sin(1/x2) für x ≠ 0, F(0) = 0. F′ ist unbeschränkt, also nicht integrierbar.
G(x) = x2 sin(1/x) für x ≠ 0, G(0) = 0. G′ ist unstetig bei 0 (zweiter Art).