Die partielle Integration
Die Umkehrung der Produktregel liefert:
Satz (partielle Integration)
Seien f, g : I → ℝ stetig differenzierbar. Dann gilt:
∫(fg′) = f g − ∫(f ′g).
Folglich gilt für alle a, b ∈ I:
∫ba(f g′) = − ∫ba(f ′g).
Beweis
Die Funktionen f ′ g, f g′ und (f g)′ = f ′ g + f g′ sind nach Voraussetzung stetig. Also existieren die unbestimmten Integrale dieser Funktionen. Weiter ist f g eine Stammfunktion von (f g)′. Damit gilt nach der Linearität des unbestimmten Integrals, dass
f g = ∫(f g)′ = ∫(f ′ g + f g′) = ∫(f ′ g) + ∫(f g′).
Der Zusatz folgt aus der Berechnung eines bestimmten Integrals durch Auswertung einer Stammfunktion und Linearität des bestimmten Integrals.
Wir können also unter guten Voraussetzungen ein Produkt f h wie folgt integrieren: Integration von h liefert ein g mit g′ = h. Nun differenzieren wir f und integrieren dann f ′ g, was einfacher sein kann als die Integration von f h = f g′. Die Formel der Produktregel erlaubt uns dann das Integral von f h zu bestimmen. Eine Ableitung in einem Faktor eines Produkts kann also auf den anderen Faktor verschoben werden, auf Kosten einer Auswertung des Produkts an den Integrationsgrenzen.
Besonders überzeugend ist der Übergang von f g′ zu f ′g, wenn f eine komplizierte Funktion wie log oder arctan ist, die eine relativ einfache Ableitung besitzt:
Beispiel 1: Integration des Logarithmus
Für alle a, b > 0 gilt:
∫balog(x) dx = ∫balog(x) 1 dx
= − ∫ba1x x dx
= − ∫ba1 dx
=
F(x) = x(log(x) − 1)
Beispiel 2: Integration des Arkustangens
Für alle a, b ∈ ℝ gilt:
∫ba arctan(x) dx = ∫baarctan(x) 1 dx
= − ∫bax1 + x2 dx
= −
=
F(x) = arctan(x) x − log(1 + x2)/2
Eine Stammfunktion von x/(1 + x2) haben wir hier „geraten“ (vgl. aber die Beispiele zur Substitutionsregel unten).
Schließlich betrachten wir noch ein Beispiel, bei dem der zweite Faktor ebenso kompliziert ist wie der erste − er ist sogar identisch mit dem ersten:
Beispiel 3: Integration von sin2
Es gilt
| ∫ sin2(x) dx | = ∫ sin(x) sin(x) dx = ∫ sin(x) (− cos(x))′ dx |
| = − sin(x) cos(x) − ∫ sin(x)′ (− cos(x)) dx | |
| = − sin(x) cos(x) + ∫ cos2(x) dx. |
Einen Moment lang sieht es so aus, als hätten wir nichts gewonnen. Da aber sin2(x) + cos2(x) = 1 für alle x gilt, erhalten wir durch Addition des Integrals über sin2(x) auf beiden Seiten, dass
2 ∫sin2(x) dx = ∫cos2(x) + sin2(x) dx − sin(x) cos(x) = x − sin(x) cos(x).
Damit gilt also
∫ sin2(x) dx = x − sin(x) cos(x)2.
F(x) = x − sin(x) cos(x)2 = x2 − sin(2x)4
In den Übungen werden wir eine Rekursionsformel für ∫ sinn(x) dx, n ≥ 2, herleiten und daraus eine unendliche Produktdarstellung von π gewinnen:
| π/2 | = 2 · 21 · 3 · 4 · 43 · 5 · 6 · 65 · 7 · 8 · 87 · 9 · … |
| = limn 2 · 2 · 4 · 4 · … · 2n · 2n1 · 3 · 3 · … · (2n − 1) · (2n + 1) (Wallis-Produkt) |
Das Wallis-Produkt konvergiert recht langsam. Für n = 1000 ist das Doppelte des Partialprodukts zum Beispiel gleich 3,1400…
Beim Integrieren führen oft verschiedene Wege zum Ziel. Wir besprechen zur Illustration noch zwei weitere Möglichkeiten, das Integral über sin2(x) zu berechnen.
Alternative 1: Verwendung trigonometrischer Formeln
Wir verwenden die für alle x ∈ ℝ gültigen Verdopplungsformeln
cos(2x) = cos2(x) − sin2(x), sin(2x) = 2 sin(x) cos(x).
Das Satz des Pythagoras liefert
cos(2x) = 1 − sin2(x) − sin2(x) = 1 − 2 sin2(x).
Damit erhalten wir
2 ∫ sin2(x) dx = ∫ 1 − cos(2x) dx = x − sin(2x)/2 = x − sin(x) cos(x),
in Übereinstimmung mit der mit Hilfe partieller Integration berechneten Stammfunktion.
Alternative 2: Verwendung komplexwertiger Integrale
Auch bei der Integration ist die komplexe Exponentialfunktion oft hilfreich, wenn trigonometrische Funktionen im Spiel sind. Es gilt
∫ ei x dx = ∫ cos(x) dx + i ∫ sin(x) dx = sin(x) − i cos(x) = − i ei x.
Allgemeiner gilt
∫ ei k x dx = − ik ei kx für alle k ∈ ℤ mit k ≠ 0.
Aus sin(x) = Im(eix) = (eix − e−ix)/(2i) ergibt sich
− 4 sin2(x) = (eix − e−ix)2 = ei2x + e−i2x − 2 eix e−ix = ei2x + e−i2x − 2.
Damit erhalten wir
| 2 ∫ sin2(x) dx | = ∫ 1 − ei 2x/2 − e−i 2x/2 dx |
| = x + i ei 2x/4 − i e−i 2x/4 | |
| = x − Im(ei 2x)/2 | |
| = x − sin(2x)/2 = x − cos(x) sin(x). |
Der Leser hat vielleicht Vergnügen daran, mit dieser Methode das Integral über sin3(x) zu berechnen.