Ausblick:  Die Kreisberechnung bei Archimedes

 Obige Bestimmung der Fläche eines Kreises erforderte ein vergleichsweise hohes Maß an Hilfsmitteln. Neben dem Hauptsatz und der Substitutionsregel haben wir vor allem auch die trigonometrischen Funktionen eingesetzt. Wir besprechen nun noch eine „sinusfreie“ Methode, mit der Archimedes die Kreisfläche berechnet hat. Dabei wird ein Kreis durch regelmäßige einbeschriebene und umschriebene n-Ecke approximiert, deren Flächen sich elementargeometrisch bestimmen lassen. Nützlich hierzu sind die drei klassischen Mittelwerte zweier positiver Größen, an die wir hier erinnern möchten (vgl. auch 1. 4 in Band 1).

 Die Mittel wachsen monoton in beiden Argumenten a und b und liegen stets im durch a und b definierten Intervall. Für a = b sind alle Mittel gleich a und für a < b gilt

A(a, b)  −  G(a, b)  =  $\frac{{\left(\sqrt{\mathrm{b}}-\sqrt{\mathrm{a}}\right)}^2}{2}$  >  0,

G(a, b)  −  H(a, b)  =  $\sqrt{\text{ab}}$  $\frac{{\left(\sqrt{\mathrm{b}}-\sqrt{\mathrm{a}}\right)}^2}{\mathrm{a}+\mathrm{b}}$  >  0,

sodass A(a, b) > G(a, b) > H(a, b). (Merkregel: AGH wie im Alphabet.) Es gilt zum Beispiel

A(1, 9)  =  5,  G(1, 9)  =  3,  H(1, 9)  =  9/5  =  1,8.

 Nach diesen Vorbereitungen können wir die Kreisberechnung durchführen. Sei also K ein Kreis mit Radius r. Für alle n ≥ 3 sei

A_n  =  „der Flächeninhalt eines in K einbeschriebenen regelmäßigen n-Ecks“,

B_n  =  „der Flächeninhalt eines K umschließenden regelmäßigen n-Ecks“.

Die folgenden Diagramme zeigen A₆ und B₆.

Die Zerlegung in 6 gleichseitige Dreiecke mit Seitenlänge bzw. Höhe r zeigt:

(+)  A₆  =  r^{2 3}₂ $\sqrt{3}$,  B₆  =  r² 2 $\sqrt{3}$.

Entscheidend sind nun die folgenden Rekursionsformeln für die Verdopplung der Eckenzahl:

(++)  A_2n  =  G(A_n, B_n),  B_2n  =  H(A_2n, B_n).

Die erste Formel ergibt sich aus folgendem Diagramm:

 Für die zweite Rekursionsformel betrachten wir:

 Ausgehend von (+) lassen sich mit Hilfe der Rekursionsformeln (++)

A₆,  B₆,  A₁₂,  B₁₂,  A₂₄,  B₂₄,  …,  A_{6 · 2ⁿ},  B_{6 · 2ⁿ},  …

berechnen. Für den Radius r = 1 ergibt sich zum Beispiel

A₄₈  =  3,1326286132…,  B₄₈  =  3,1460862151…

A_{6 · 2¹⁰}  =  3,1415921059…,  B_{6 · 2¹⁰}  =  3,1415929273…

 Für r = 1 definieren wir

π  =  sup_n A_{6 · 2ⁿ}  (=  3,1415926535…)

Es gilt π = inf_n B_{6 · 2ⁿ} (Beweis als Übung). Für beliebige Radien r erhalten wir r² π als Grenzwert der Approximation, da der Faktor r² in (+) durch die Rekursionsformeln weitervererbt wird.

 Die Methode des Archimedes zur Berechnung der Kreisfläche liefert also die Formel r²π mit einer Konstanten π, die als Grenzwert einer rekursiv definierten Folge definiert ist. Die Folge eignet sich auch zur numerischen Berechnung von π. Im Gegensatz zum Faktor 4/3 bei der Quadratur der Parabel haben wir keinen einfachen Wert für π gefunden. Es gibt auch gar keinen: π ist nicht nur, wie wir oben gesehen haben, irrational, sondern, wie Ferdinand von Lindemann 1882 bewies, sogar transzendent und damit ist die Konstruktion von π mit Zirkel und Lineal unmöglich.

Kreisfläche und Kreisumfang

 Ebenfalls dem Archimedes zugeschrieben wird eine anschauliche geometrische Argumentation, die den Zusammenhang zwischen Flächeninhalt und Umfang eines Kreises aufzeigt. Wir teilen hierzu einen Kreis K mit Radius r in 2n gleich große Sektoren S₁, …, S_2n (Kuchenstücke) und ordnen diese Sektoren wie in den Diagrammen rechts an.

 Die Figuren besitzen den Flächeninhalt A = r²π und den Umfang U + 2r, wobei U der Umfang von K ist. Strebt n gegen unendlich, so nähern sich die Figuren einem Rechteck der Breite U/2 und Höhe r an. Damit ist

^U₂ r  =  A  =  r² π,

woraus sich

U  =  2rπ

ergibt. Umgekehrt kann man so die Flächenformel r²π erhalten, wenn man den Umfang U = 2rπ bereits kennt.