Das Integralvergleichskriterium

Als Anwendung der uneigentlichen Integration beweisen wir ein neues Kriterium zum Nachweis der Konvergenz oder Divergenz von Reihen.

Satz (Integralvergleichskriterium)

Sei f : [ 0, ∞ [ → [ 0, ∞ [ monoton fallend. Dann sind äquivalent:

(a)	∑_n f (n) konvergiert.

(b)

I(f) < ∞.

Beweis

Sei k  ∈  ℕ. Da f monoton fällt, gilt

f (k) ≥ f (x) ≥ f(k + 1) für alle x  ∈  [ k, k + 1 ].

Nach Monotonie des Integrals ist also

f (k) = f (k) · 1 ≥ ∫^k+1_kf (x) dx ≥ f(k + 1) · 1 = f(k + 1).

Summation und die Aufspaltungseigenschaft ergeben, dass für alle n gilt:

∑_k ≤ n f (k) ≥ ∫ⁿ⁺¹₀f (x) dx ≥ ∑_{1 ≤ k ≤ n + 1} f (k).

Die erste Ungleichung zeigt „(a) impliziert (b)“, die zweite „(b) impliziert (a)“.

Ein entsprechender Satz gilt natürlich auch für monoton fallende Funktionen f : [ k, ∞ [ → [ 0, ∞ [ und Reihen ∑_n ≥ k f (n) für einen Startwert k > 0.

Beispiele

(1)	Für f : [ 1, ∞ [ → [ 0, ∞ [ mit f (x) = 1/x für alle x ≥ 1 gilt I(f) = lim_b → ∞ ${log (x)\|}_{1}^{b}$ = lim_b → ∞ log(b) = ∞. Nach dem Vergleichskriterium gilt also ∑_n ≥ 1 f (n) = ∑_n ≥ 1 1/n = ∞.(Divergenz der harmonischen Reihe)

(2)	Sei s > 1 und f : [ 1, ∞ [ → [ 0, ∞ [ mit f (x) = 1/x^s für alle x ≥ 1. Dann gilt I(f) = lim_b → ∞ ${\frac{x^{1 - s}}{1 - s}\|}_{x = 1}^{x = b}$ = lim_b → ∞ ^{b^1 − s − 1}_1 − s = ¹_s − 1 < ∞, da 1 − s < 0 und so lim_{b → ∞} b^1 − s = 0. Also gilt ζ(s) = ∑_n ≥ 1 1/n^s < ∞.