Die Euler-Mascheroni-Konstante

Bei der Diskussion der Divergenz der harmonischen Reihe ∑_n ≥ 1 1/n hatten wir erwähnt, dass die Partialsummen

s_n = ∑_{1 ≤ k ≤ n}¹_k

dieser Reihe wie der natürliche Logarithmus log wachsen, und dass stärker

γ = lim_n (s_n − log(n)) (Euler-Mascheroni-Konstante)

existiert (vgl. Kapitel 2. 3 in Band 1). Dies wollen wir nun mit Hilfe von Integration beweisen. Das wesentliche Element der Argumentation ist die Formel

∫^b₁¹_x dx = log(b).

Wir zeigen mit Hilfe dieser Formel und einer die Logarithmus-Reihe bemühenden Abschätzung, dass lim_n (s_n − log(n)) existiert. Danach diskutieren wir einen äquivalenten Zugang, der uneigentliche Integrale verwendet.

Satz (Existenz der Euler-Mascheroni-Konstante)

Für alle n ≥ 1 seien

s_n = ∑_{1 ≤ k ≤ n}¹_k, t_n = s_n − log(n).

Dann gilt

(a)	t_n > 0 für alle n ≥ 1,

(b)	(t_n)_{n  ∈  ℕ} ist monoton fallend.

Insbesondere existiert γ = inf_n t_n = lim_n t_n.

Beweis

zu (a): Sei f : [ 1, ∞ [ → [ 0, ∞ [ die Funktion mit f (x) = 1/x für alle x ≥ 1. Weiter sei n ≥ 1 und p die Partition von [ 1, n ] der Länge n − 1 mit den Zerlegungspunkten 1, 2, …, n − 1. Dann gilt

s_n − 1 = ∑_{1 ≤ k < n}¹_k = S_p f ≥ ∫ⁿ₁¹_x dx = log(n).

Damit ist s_n > s_n − 1 ≥ log(n) und folglich t_n > 0.

zu (b): Sei n ≥ 1. Dann gilt unter Verwendung der Logarithmus-Reihe:

t_n − t_n + 1	= s_n − log(n) − s_n + 1 + log(n + 1)
	= log(^n + 1_n) − ¹_n + 1 = log(1 + ¹_n) − ¹_n + 1
	= ∑_k ≥ 1(−1)^k − 1 ^{1/n^k}_k − ¹_n + 1
	= ¹_n − ¹_2n² − ¹_n + 1 + ∑_k ≥ 3(−1)^k − 1 ¹_{k n^k}
	= ^n − 1_{2n²(n + 1)} + ∑_k ≥ 3(−1)^k − 1 ¹_{k n^k} > 0,

denn der erste Summand ist nichtnegativ und die Summe rechts ist positiv nach dem Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen.

Wir zeigen nun, dass die Euler-Mascheroni-Konstante der Inhalt einer anschaulichen unbeschränkten Fläche ist. Ist g : [ 1, ∞ ] → [ 0, ∞ [ die Stufenfunktion 1/floor auf [ 1, ∞ [, d. h.

g(x) = ¹_⌊x⌋ = ¹_k für alle x  ∈  [ k, k + 1 [ und k ≥ 1,

so gilt g(x) ≥ 1/x für alle x ≥ 1 (da ⌊x⌋ ≤ x). Weiter gilt

lim_n ≥ 1 ∫ⁿ₁¹_⌊x⌋ − ¹_x dx	= lim_n ≥ 1 (s_n − 1 − log(n))
	= lim_n ≥ 1 (t_n − ¹_n) = γ.

Da der Integrand nichtnegativ ist, wächst das Integral monoton in n und damit konvergiert die Folge (t_n − 1/n))_n ≥ 1 monoton steigend gegen γ.

Die Überlegung zeigt, dass γ der Inhalt der im folgenden Diagramm grau dargestellten Fläche ist.

Dass der Inhalt A₁ + A₂ + A₃ + … dieser Fläche endlich ist, kann man auch unabhängig von obigen Überlegungen ohne Verwendung der Logarithmusreihe einsehen. Es gilt

A_n ≤ (g(n) − g(n + 1)) · 1 = ¹_n − ¹_n + 1 = ¹_n(n + 1) für alle n ≥ 1

und damit

∑_n ≥ 1 A_n ≤ ∑_n ≥ 1¹_n(n + 1) = 1.

Man kann also alternativ γ von vorneherein als die unendliche Summe der Einzelflächen A_n definieren, d. h., als das uneigentliche Integral

∫^∞₁¹_⌊x⌋ − ¹_x dx = ∑_n ≥ 1 A_n.

Dass γ = lim_n ≥ 1 t_n = lim_n ≥ 1 s_n − log(n) gilt, gewinnt man bei diesem Zugang aus

γ = lim_n ≥ 1 (t_n − 1/n) = lim_n ≥ 1 t_n.

Numerisch gilt

γ = 0,5772156649015328606065120900824024310421593359399235988…

Es ist nicht bekannt, ob γ irrational ist. Die Konstante γ spielt in der analytischen Zahlentheorie eine wichtige Rolle, im Vergleich zu π, e und dem Goldenen Schnitt hält sie sich dagegen in geometrischen Figuren und der mathematischen Naturbeschreibung vornehm zurück.