Die Gaußsche Glockenkurve
Zu den wichtigsten uneigentlichen Integralen zählt das Integral über die Gaußsche Glockenkurve. Sie spielt in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine zentrale Rolle.
Definition (Gauß-Funktion)
Gauß-Glocke f mit Flächeninhalt
Die Gauß-Funktion f : ℝ → ℝ ist definiert durch
f (x) = e−x2/2 für alle x ∈ ℝ.
Dass das uneigentliche Integral über die Glockenkurve existiert, lässt sich aufgrund des starken Abfalls der Funktion leicht einsehen. Dagegen ist die Berechnung weitaus schwieriger. Es gilt:
Satz (Gauß-Integral oder Euler-Poisson-Integral)
∫∞−∞e−x2/2 dx = .
Wir geben im Ausblick einen elementaren Beweis. Weiter führen wir dort die Eulersche Gammafunktion ein und zeigen, wie das Gauß-Integral bei der Untersuchung dieser Funktion mit abfällt. Eine überraschend einfache, auf Siméon Poisson zurückgehende Berechnung des Integrals ist mit mehrdimensionalen Integralen möglich. Wir werden hierauf in Abschnitt 6 zurückkommen.
Numerische Werte liefern die Taylor-Polynome Tn0 f (x) = ∑k ≤ n (−1)k x2k/2kk!:
Es gilt zum Beispiel ∫3−3f30(x) dx = 2,4996…, während = 2,5066…