Perfekte Mengen
Beim Übergang von P zu P′ gehen genau die Punkte von P verloren, die keine Häufungspunkte von P sind. Wir definieren:
Definition (isolierter Punkt)
Sei P ⊆ ℝ, und sei p ∈ P. Dann heißt p ein isolierter Punkt von P, falls eine Umgebung U von p existiert mit P ∩ U = { p }.
Nach Definition gilt also
P − P′ = { p ∈ P | p ist ein isolierter Punkt von P }.
Beispiele
Ist P endlich, so ist jedes Element von P ein isolierter Punkt. Ebenso ist jeder Punkt von ℤ isoliert. Das Intervall [ 0, 1 [ hat keine isolierten Punkte. Ist P = { 1/n | n ≥ 1 } ∪ { 0 }, so sind alle Punkte bis auf 0 isoliert.
Die abgeschlossene Menge P = { 1/n | n ≥ 1 } ∪ { 0 } der Beispiele ist nicht perfekt im Sinne der folgenden Definition:
Definition (perfekt)
Ein P ⊆ ℝ heißt perfekt, falls P abgeschlossen ist und keine isolierten Punkte besitzt.
Alle abgeschlossenen − beschränkten oder unbeschränkten − Intervalle sind perfekt. Insbesondere sind ∅ und ℝ perfekt. Weiter sind die perfekten Mengen abgeschlossen unter endlichen Vereinigungen und Schnitten. Aus der Charakterisierung der abgeschlossenen Mengen erhalten wir:
Satz (Ableitungscharakterisierung der perfekten Mengen)
Sei P ⊆ ℝ. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:
(a) | P ist perfekt. |
(b) | P′ = P. |
Der neugierige Leser wird vielleicht fragen:
Die Eigenschaft „P′ ⊆ P“ heißt „abgeschlossen“ und „P′ = P“ heißt „perfekt“.
Hat nicht auch die Eigenschaft „P ⊆ P′“ eine Bedeutung ?
In der Tat! Die Eigenschaft „P ⊆ P′“ besagt, dass jeder Punkt von P ein Häufungspunkt von P ist. Mengen mit dieser Eigenschaft nennt man in sich dicht. Beispiele sind alle offenen Mengen sowie ℚ und [ a, b ] ∩ ℚ für alle a < b. Die perfekten Mengen sind genau die Mengen, die abgeschlossen und in sich dicht sind.