Randpunkte und Rand einer Menge

 Mit Hilfe des Umgebungsbegriffs können wir auch definieren, was wir unter einem Randpunkt einer Menge verstehen wollen:

Definition (Randpunkt)

Sei P ⊆ ℝ. Ein p  ∈  ℝ heißt ein Randpunkt von P, falls für jede Umgebung U von p Punkte x, y  ∈  U existieren mit x  ∈  P und y  ∉  P.

 Umgebungen von Randpunkten enthalten also immer sowohl Punkte der Menge als auch Punkte ihres Komplements. In ε-Formulierung lautet die Bedingung:

Für alle ε > 0 gilt Uε(p) ∩ P ≠ ∅ und Uε(p) − P ≠ ∅.

Beispiele

Ist P endlich, so ist jedes Element von P ein Randpunkt von P. Der Punkt 1 ist ein Randpunkt von [ 0, 1 ], ] 0, 1 [, [ 0, 1 [ und [ 0, 2 ] − { 1 }, obwohl er anschaulich nicht unbedingt „am Rand“ der letzten Menge liegt.

 Sammeln von Randpunkten definiert eine weitere topologische Operation:

Definition (Rand)

Für alle P ⊆ ℝ heißt

bd(P)  =  { p  ∈  ℝ | p ist ein Randpunkt von P }

der Rand von P.

 Hier steht „bd“ für engl. „boundary“. Neben bd(P) ist auch ∂P üblich. Es gilt:

Satz (Eigenschaften des Randes)

Für alle P ⊆ ℝ gilt:

(a)

bd(P)  =  cl(P)  −  int(P)  =  cl(P)  ∩  (ℝ − int(P)),

(b)

bd(P)  =  cl(P)  ∩  cl(ℝ − P)  =  bd(ℝ − P).

 Die Darstellungen zeigen den Rand als Durchschnitt zweier abgeschlossener Mengen und trivialisieren den Nachweis seiner Abgeschlossenheit. Sie sind ein schönes Beispiel für die „elementarmagischen“ Umformulierungen der Topologie.

 Für offene U und abgeschlossene A gelten:

bd(U)  =  cl(U)  −  int(U)  =  (U ∪ U′)  −  U  =  U′  −  U,

bd(A)  =  cl(A)  −  int(A)  =  A  −  int(A).