Relativbegriffe

Wir wollen unsere Begriffsbildungen nun noch von ℝ auf eine beliebige Punktmenge P ⊆ ℝ relativieren. Der Leser denke hierbei zum Beispiel wieder an ein Intervall oder eine Vereinigung von Intervallen. Die Menge P ist ein reduziertes „Universum“, dessen Teilmengen wir untersuchen. In den Stetigkeitsformulierungen wird P der Definitionsbereich einer reellen Funktion sein.

Definition (relativ offene Mengen)

Sei P ⊆ ℝ. Dann heißt ein V ⊆ P offen in P oder relativ offen bzgl. P, falls ein offenes U ⊆ ℝ existiert mit V = U ∩ P.

Beispielsweise ist [ 0, 1 [ offen in P = [ 0, 2 ], da [ 0, 1 [ = ] −1, 1 [ ∩ P. Dagegen ist [ 0, 1/2 ] nicht offen in [ 0, 2 ]. Für alle P ⊆ ℝ ist P offen in P, da P = P ∩ ℝ für die offene Menge ℝ gilt. Auch die leere Menge ist stets offen in P. Allgemein übernimmt das Mengensystem

𝒱 = { U ∩ P | U  ∈  𝒰 } = { U ∩ P | U ist offen in ℝ }

die Rolle der offenen Mengen. Ist P = ℝ, so fällt die Offenheit von U in P mit der Offenheit von U zusammen. Dies gilt für alle folgenden Relativierungen.

An die Stelle der ε-Umgebungen U_ε(p) treten die entsprechenden Schnitte mit der Grundmenge P. Setzen wir

U^P_ε(p) = U_ε(p) ∩ P, (relative ε-Umgebung von p)

so ist eine Menge U ⊆ P genau dann offen in P, wenn für alle p  ∈  U ein ε > 0 existiert mit U^P_ε(p) ⊆ U.

Alle anderen topologischen Begriffsbildungen leiten sich nun wie früher aus dem Begriff der offenen Menge ab. Der Umgebungsbegriff relativiert sich zum Beispiel wie folgt:

Definition (relative Umgebungen)

Sei P ⊆ ℝ. Weiter seien N ⊆ P und p  ∈  P. Dann heißt N eine Umgebung von p in P oder relativ zu P, falls ein in P offenes U existiert mit p  ∈  U ⊆ N.

Ist N offen in P, so heißt N eine offene Umgebung von p in P.

Gleichwertig zur Existenz eines relativ offenen U mit p  ∈  U ⊆ N ist die Existenz eines ε > 0 mit U^P_ε(p) ⊆ N. Relative Umgebungen eines Punktes enthalten also wieder eine offene ε-Umgebung, wobei die ε-Umgebung aus der Sicht der Menge P betrachtet wird.

Ist P offen, so fallen die relative Offenheit und der relative Umgebungsbegriff mit den Begriffen für ℝ zusammen: Die in P offenen Mengen sind in diesem Fall genau die offenen Teilmengen von P, und die Umgebungen eines p  ∈  P relativ zu P sind genau die Umgebungen von p, die Teilmengen von P sind.

Relativ abgeschlossene Mengen können wir wieder über Komplemente einführen:

Definition (relativ abgeschlossene Mengen)

Sei P ⊆ ℝ. Dann heißt ein A ⊆ P abgeschlossen in P oder relativ abgeschlossen bzgl. P, falls P − A offen in P ist.

Beispielsweise sind ] 0, 1/2 ] und { 1/n | n ≥ 1 } abgeschlossen in P = ] 0, 1 ] und ebenso in Q = [ −1, 1 ] − { 0 }. Der Punkt 0 „fehlt“ diesen Mengen nur aus der Sicht von ℝ, aus der Sicht von P oder Q gibt es diesen Punkt nicht.

Gleichwertig zur Abgeschlossenheit von A in P ist die Existenz einer abgeschlossenen Menge B ⊆ ℝ mit A = B ∩ P. Denn es gilt:

A ist abgeschlossen in P	genau dann, wenn
es gibt ein offenes U ⊆ ℝ mit P − A = U ∩ P	genau dann, wenn
es gibt ein abgeschlossenes B ⊆ ℝ mit P − A = (ℝ − B) ∩ P	genau dann, wenn

es gibt ein abgeschlossenes B ⊆ ℝ mit A = B ∩ P.

Aus der Schnitt-Darstellung folgt, dass für alle Q ⊆ P die Menge cl(Q) ∩ P die kleinste in P abgeschlossene Obermenge von Q ist. Damit ist ein A ⊆ P genau dann abgeschlossen in P, wenn

A = cl(A) ∩ P = (A ∪ A′) ∩ P = A ∪ (A′ ∩ P),

d. h., wenn A′ ∩ P ⊆ A. Es gilt also folgende Häufungspunkt-Charakterisierung:

Ein A ⊆ P ist genau dann abgeschlossen in P, wenn jeder Häufungspunkt von A, der in P liegt, zu A gehört.

Gleichwertig ist, dass jede Folge in A, die in P konvergiert, einen Grenzwert in A besitzt. Für P = ] 0, 1 ] und die in P abgeschlossene Menge A = ] 0, 1/2 ] ist diese Bedingung für eine Nullfolge (x_n)_n ∈ ℕ in P nicht verletzt, da eine solche Folge in P nicht konvergiert.

Auch die topologischen Operatoren lassen sich nach P relativieren, indem wir in den Definitionen die Relativbegriffe einsetzen. Wir erhalten so Operatoren int^P, (·)′^P, cl^P, bd^P : ℘(P) → ℘(P). Für alle Q ⊆ P gilt

int^P(Q)	= { p  ∈  P \| Q ist eine Umgebung von p in P }
	= { p  ∈  P \| es gibt ein ε > 0 mit U^P_ε(p) ⊆ Q },
Q′^P	= Q′ ∩ P,
cl^P(Q)	= Q ∪ Q′^P = cl(Q) ∩ P,
bd^P(Q)	= cl^P(Q) − int^P(Q).

Für die Operatoren int^P und bd^P gilt keine Schnittdarstellung wie für die relative Ableitung und den relativen Abschluss. Für P = [ 0, 1 ] ist zum Beispiel

int^P([ 0, 1 ]) = [ 0, 1 ] ≠ ] 0, 1 [ = int([ 0, 1 ]) ∩ P,

bd^P([ 0, 1 ]) = ∅ ≠ { 0, 1 } = bd([ 0, 1 ]) ∩ P.

Allgemein gilt int^P(P) = cl^P(P) = P und damit bd^P(P) = ∅. Eine offene und zugleich abgeschlossene Menge besitzt keine Randpunkte.