Abstände aus Normen
Viele metrische Räume entstehen aus Vektorräumen. Hierzu definieren wir:
Definition (Norm)
Sei V ein K-Vektorraum mit K = ℝ oder K = ℂ. Dann heißt eine Abbildung ∥ · ∥ : V → [ 0, ∞ [ eine Norm auf V und V ein normierter Vektorraum, falls für alle Vektoren v, w ∈ V und alle Skalare α ∈ K gilt:
(a) | ∥ v ∥ = 0 impliziert v = 0, (Nullbedingung) |
(b) | ∥ αv ∥ = |α| ∥ v ∥, (Skalierung) |
(c) | ∥ v + w ∥ ≤ ∥ v ∥ + ∥ w ∥. (Dreiecksungleichung) |
Wegen ∥ 0 ∥ = ∥ 0v ∥ = 0 ∥ v ∥ = 0 gilt immer auch die Umkehrung in (a).
Jede Norm auf einem Vektorraum V liefert eine Metrik auf V:
Definition (von einer Norm induzierte Metrik)
d(v, w) = ∥ v − w ∥
Sei V ein normierter Vektorraum, und sei d : V2 → ℝ für alle v, w ∈ V definiert durch
d(v, w) = ∥ v − w ∥.
Dann heißt d die von der Norm induzierte Metrik auf V.
In der Tat ist d eine Metrik auf V. Speziell gilt
d(0, v) = ∥ v − 0 ∥ = ∥ v ∥,
sodass die Norm eines Vektors immer sein Abstand zum Nullvektor ist. Der Abstand bleibt unter Translationen erhalten, denn für alle v, w, t ∈ V gilt
d(v + t, w + t) = ∥ v + t − w − t ∥ = ∥ v − w ∥ = d(v, w).