Die p-Normen

Zu den wichtigsten Normen gehören:

Definition (p-Normen)

Sei V = ℝⁿ oder V = ℂⁿ, n ≥ 1. Dann setzen wir für alle x = (x₁, …, x_n)  ∈  V:

∥ x ∥₁ = ∑_{1 ≤ k ≤ n} |x_k|, (Summennorm, 1-Norm)

∥ x ∥₂ = (|x₁|² + … + |x_n|²)^1/2, (euklidische Norm, 2-Norm)

∥ x ∥_∞ = max_{1 ≤ k ≤ n} |x_k|. (Maximumsnorm, ∞-Norm)

Weiter definieren wir für eine reelle Zahl p ≥ 1:

∥ x ∥_p = (∑_{1 ≤ k ≤ n} |x_k|^p)^1/p. (p-Norm)

Die wichtigsten Fälle sind, wie in der Definition hervorgehoben, p = 1, p = 2 und p = ∞, und der Leser kann sich auf diese Fälle konzentrieren. Es ist aber instruktiv, diese Normen unter einem allgemeinen Dach zu behandeln. Warum die Maximumsnorm mit dem Index ∞ versehen wird und als p-Norm gilt, klärt:

Bemerkung

Für alle n ≥ 1 und x  ∈  ℂⁿ gilt mit s = ∥ x ∥_∞:

lim_p → ∞ ∥ x ∥_p = s lim_p → ∞ (∑_{1 ≤ k ≤ n} |x_k/s|^p)^1/p = s 1 = ∥ x ∥_∞.

Denn es gilt |x_k/s| ≤ 1 für alle k und |x_k*/s| = 1 für ein k*, sodass die Summe in [ 1, n ] liegt. Damit konvergiert die Summe hoch 1/p für p → ∞ gegen 1.

Die folgenden Diagramme illustrieren die p-Normen für die sechs p-Werte 1, 3/2, 2, 3, 10 und ∞ im ℝ². Gezeigt sind die deformierten Kreise

M_{p, r} = { ∥ (x, y) ∥_p (x, y) | ∥ (x, y) ∥₂ = r }, wobei r = 1/2, 1, 3/2.

1-Norm

1,5-Norm

2-Norm

3-Norm

10-Norm

∞-Norm

Dass die Abbildungen ∥ · ∥ _p für alle p ≥ 1 tatsächlich Normen sind, ist keineswegs trivial. Für p = 2 wird zum Beweis der Dreiecksungleichung die Ungleichung von Cauchy-Schwarz verwendet:

|〈 z, w 〉| = |∑_{1 ≤ k ≤ n} z_kw_k| ≤ ∥ z ∥₂ ∥ w ∥₂ für alle z, w  ∈  ℂⁿ.

Für p ≥ 1 brauchen wir die allgemeinere Hölder-Ungleichung:

Satz (Hölder-Ungleichung)

Für n ≥ 1, z, w  ∈  ℂⁿ und alle reellen p, q ≥ 1 mit 1/p + 1/q = 1 gilt

∑_{1 ≤ k ≤ n} |z_k w_k| ≤ ∥ z ∥_p ∥ w ∥_q.

Beweis

Es genügt, die Aussage für z, w mit ∥ z ∥_p = ∥ w ∥_q = 1 zu beweisen. Nach der Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel (vgl. 4. 4 in Band 1 mit λ₁ = 1/p, λ₂ = 1/q, x₁ = |z_k|^p, x₂ = |w_k|^q) gilt:

|z_k| |w_k| ≤ ¹_p |z_k|^p + ¹_q |w_k|^q für alle 1 ≤ k ≤ n.

Also ist

∑_{1 ≤ k ≤ n} |z_k w_k| ≤ ¹_p ∥ z ∥^p_p + ¹_q ∥ w ∥^q_q = ¹_p + ¹_q = 1.

Die Fälle p = 1, p = 2 und p = ∞ führen zu uns bereits bekannten Metriken: Die 1-Norm induziert die Summenmetrik, die 2-Norm die euklidische Metrik und die ∞-Norm die Maximumsmetrik auf dem ℝⁿ bzw. auf dem ℂⁿ.

Nützliche für alle x  ∈  ℝⁿ und x  ∈  ℂⁿ gültige Abschätzungen sind:

	∥ x ∥₁ ≤ $\sqrt{n}$ ∥ x ∥₂	∥ x ∥₁ ≤ n ∥ x ∥_∞
	∥ x ∥₂ ≤ ∥ x ∥₁	∥ x ∥₂ ≤ $\sqrt{n}$ ∥ x ∥_∞
	∥ x ∥_∞ ≤ ∥ x ∥₁	∥ x ∥_∞ ≤ ∥ x ∥₂

Statt ∥ x ∥₂ schreiben wir oft kurz ∥ x ∥. Ist nichts Weiteres gesagt, so sind die Räume ℝⁿ und ℂⁿ mit der euklidischen Norm versehen.

Die p-Normen können wir nicht nur für die endlich-dimensionalen Vektorräume ℝⁿ und ℂⁿ, sondern auch für unendlich-dimensionale Funktionenräume einführen. Die Summe wird dabei durch ein Integral ersetzt.

Definition (L^p-Normen auf 𝒞([ a, b ]))

Sei [ a, b ] ⊆ ℝ ein kompaktes Intervall, und sei V = 𝒞([ a, b ]) der Vektorraum der stetigen (reell- oder komplexwertigen) Funktionen auf [ a, b ]. Weiter sei p ≥ 1. Dann setzen wir für alle f  ∈  V :

∥ f ∥_p = ${(\int_{a}^{b} |f (x) |^{p} dx)}^{1 / p}$ . (L^p-Norm)

Weiter sei wieder

∥ f ∥_∞ = ∥ f ∥_sup = sup_{x  ∈  [ a, b ]} |f (x)|. (L^∞-Norm, Supremumsnorm)

Der L^∞-Norm sind wir bereits bei der Diskussion der gleichmäßigen Konvergenz von Funktionenfolgen begegnet (vgl. Kapitel 3. 6 in Band 1). Sie induziert die Supremumsmetrik auf 𝒞([ a, b ]).

Die L²-Norm darf als die kontinuierliche Version der euklidischen Metrik gelten, und sie spielt für Funktionenräume eine entsprechend wichtige Rolle.

Beispiel

Wir betrachten den reellen Vektorraum V = 𝒞([ 0, 1 ]) und den Vektor f : [ 0, 1 ] → ℝ mit

f (x) = x für alle x  ∈  [ 0, 1 ].

Dann gilt

∥ f ∥₁ = 1/2, ∥ f ∥₂ = $\sqrt{1 / 3}$ , ∥ f ∥_sup = 1.