Normen für Matrizen

Matrizen liefern weitere wichtige Beispiele für Normen. Sie kommen insbesondere in der mehrdimensionalen Differentiation zum Einsatz.

Definition (Matrixnormen)

Seien 𝕂 = ℝ oder 𝕂 = ℂ, m, n ≥ 1, und sei K^{m × n} der 𝕂-Vektorraum aller reellen bzw. komplexen (m × n)-Matrizen. Weiter seien p, q  ∈  [ 1, ∞ ].

Dann setzen wir für alle A = (a_ij) = (a_ij)_{1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n}  ∈  K^{m × n}:

∥ A ∥_{p, q} = sup { ∥ Ax ∥_q | x  ∈  𝕂ⁿ, ∥ x ∥_p ≤ 1 }, (p-q-Matrixnorm)

∥ A ∥ = ∥ A ∥_{2, 2}, (Spektralnorm)

∥ A ∥_F = $\sqrt{\sum _{1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n} {|a}_{ij} |^{2}}$ . (Frobenius-Norm)

Wir werden in 2. 6 sehen, dass das Supremum der Definition ein Maximum ist.

Die Matrix-Normen ∥ · ∥_{p, q} normieren auch die Vektorräume L(𝕂ⁿ, 𝕂^m) aller linearen Abbildungen f : 𝕂ⁿ → 𝕂^m: Die Norm von f  ∈  L(𝕂ⁿ, 𝕂^m) wird als die Norm der f darstellenden Matrix bzgl. der kanonischen Basen definiert.

Der Leser beachte, dass die Frobenius-Norm die euklidische Norm von A ist, wenn wir A als Vektor der Länge m · n mit den Komponenten a_i j lesen.

Satz (Eigenschaften der Matrix-Normen)

Für alle p, q, r  ∈  [ 1, ∞ ] gilt:

(a)	∥ A ∥_{p, q} = sup_{∥ x ∥_p = 1} ∥ Ax ∥_q = sup_x ≠ 0 ^{∥ Ax ∥_q}_{∥ x ∥_p},

(b)	∥ A x ∥_q ≤ ∥ A ∥_{p, q} ∥ x ∥_p,

(c)	∥ A B ∥_{p, q} ≤ ∥ A ∥_{r, q} ∥ B ∥_{p, r}, A (m × d)-Matrix, B (d × n)-Matrix,

(d)	∥ A ∥_{1, ∞} = max_{1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n} \|a_i j\|, (Maximumsnorm)

(e)	∥ A ∥_{1, 1} = max_{1 ≤ j ≤ n} ∑_{1 ≤ i ≤ m} \|a_i j\|, (Spaltensummennorm)

(f)	∥ A ∥_{∞, ∞} = max_{1 ≤ i ≤ m} ∑_{1 ≤ j ≤ n} \|a_i j\|. (Zeilensummennorm)

Beispiel

Wir betrachten n = m = 2 und die Drehmatrix A = $( \begin{matrix} cos (φ) & - sin (φ) \\ sin (φ) & cos (φ) \end{matrix} )$ .

Für alle x  ∈  ℝ² ist A x  ∈  ℝ² der um den Winkel φ gegen den Uhrzeigersinn gedrehte Vektor x. Es gilt

∥ A ∥ = ∥ A ∥_{2, 2} = 1, ∥ A ∥_{1, ∞} = max(|sin(φ)|, |cos(φ)|), ∥ A ∥_F = $\sqrt{2}$ .

Die Diagramme visualisieren die Spektralnorm ∥ A ∥ = ∥ A ∥_{2, 2} für zwei (2 x 2)-Matrizen. Links sind die Bilder des Einheitskreises unter der A zugeordneten linearen Abbildung dargestellt, rechts die mit ∥ A (x, y) ∥ skalierten Einheitsvektoren (x, y). Die Spektralnorm ist in allen Diagrammen der Radius der kleinsten Kreises mit Mittelpunkt 0, der die Figur umschließt. Analoges gilt für das folgende dreidimensionale Beispiel.