Die topologische Stetigkeit, II

 Die Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt lässt sich in topologischen Räumen mit Hilfe von Umgebungen formulieren:

Definition (stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen)

Eine Abbildung f : (X, 𝒰) → (Y, 𝒱) zwischen zwei topologischen Räumen heißt stetig in einem Punkt p  ∈  X, wenn das Urbild jeder Umgebung von f (p) in Y unter f eine Umgebung von p in X ist.

 Die topologischen Formulierungen (b) − (e) der Stetigkeit einer Funktion in allen Punkten haben unverändert Gültigkeit (vgl. den Satz in „Topologische Stetigkeit“ oben). Weiter genügt es, offene Basis-Mengen zu betrachten: Ist ℬ eine Basis von 𝒱, so ist f : (X, 𝒰) → (Y, 𝒱) genau dann stetig in p  ∈  X, wenn das Urbild jedes V  ∈  ℬ mit f (p)  ∈  V eine Umgebung von p in (X, 𝒰) ist.

 Ein Analogon zu Limesstetigkeit gilt dagegen im Allgemeinen nicht mehr. Wir diskutieren dies im folgenden Ausblick.

Beispiele

(1)

Ist f : (X, 𝒰) → (Y, 𝒱) konstant, so ist f stetig (denn aufgrund der Konstanz gilt f −1[ V ]  ∈  { ∅, X } für alle V  ∈  𝒱, und { ∅, X } ⊆ 𝒰).

(2)

Sind 𝒰, 𝒱 Topologien auf einer Menge X, so ist die Identität id : (X, 𝒰) → (X, 𝒱) genau dann stetig, wenn 𝒱 ⊆ 𝒰.

(3)

Seien 𝒰[ ) und 𝒰 die nach rechts halboffene bzw. euklidische Topologie auf ℝ. Weiter seien f : ℝ → ℝ und p  ∈  ℝ. Dann sind äquivalent:

(a)

f : (ℝ, 𝒰[ )) → (ℝ, 𝒰) ist stetig in p.

(b)

limx ↓ p f (x)  =  f (p)  (unter der euklidischen Metrik).

(Der Beweis erfolgt nach dem üblichen Muster und kann dem Leser überlassen bleiben.) Damit ist zum Beispiel 1P : (ℝ, 𝒰[ )) → (ℝ, 𝒰) stetig für P = [ 0, 1 [, aber unstetig für P = [ 0, 1 ], ] 0, 1 ], ] 0, 1 [.

(4)

Sei X eine Menge, und sei

𝒰  =  { ∅ }  ∪  { U ⊆ X | X − U ist endlich }.

Dann ist (X, 𝒰) ein topologischer Raum. 𝒰 heißt die koendliche Topologie auf X. Hier sind außer X genau die endlichen Mengen abgeschlossen. Sind X, Y Mengen, so ist ein nichtkonstantes f : X → Y unter den koendlichen Topologien auf X und Y genau dann stetig, wenn f fast injektiv ist, d. h., wenn f −1[ { y } ] für alle y  ∈  Y endlich ist. Denn dies ist gleichwertig zur Endlichkeit der Urbilder endlicher Teilmengen von Y, sodass die Charakterisierung „die Urbilder abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen“ der Stetigkeit die Behauptung liefert.