Ausblick: Konvergenz in topologischen Räumen

Die Definition „lim_n x_n = x“ in metrischen Räumen macht durch „d(x, x_n) < ε“ von der Metrik gebraucht. Der Einsatz der Metrik lässt sich jedoch vermeiden:

Definition (topologische Grenzwertdefinition für Folgen)

Sei (X, 𝒰) ein topologischer Raum. Dann konvergiert eine Folge (x_n)_n ∈ ℕ in X gegen ein x  ∈  X, falls gilt:

Für jede Umgebung U von x gibt es ein n₀, sodass x_n  ∈  U für alle n ≥ n₀.

(topologische Konvergenzbedingung)

Wir schreiben wieder lim_n x_n = x, halten aber fest, dass ein Limes einer Folge in einem topologischen Raum nicht immer eindeutig bestimmt ist. In der trivialen Topologie { ∅, X } auf einer beliebigen Menge X konvergiert zum Beispiel jede Folge (x_n)_n ∈ ℕ in X gegen jedes x  ∈  X. Denn ist x  ∈  X, so ist X die einzige Umgebung von x. Die Eindeutigkeit des Grenzwerts einer Folge gilt jedoch für die folgende große Klasse von topologischen Räumen:

Definition (Hausdorff-Raum)

Ein topologischer Raum (X, 𝒰) heißt ein Hausdorff-Raum und 𝒰 eine Hausdorff-Topologie auf X, falls gilt:

Für alle x, y  ∈  X mit x ≠ y gibt es U,V  ∈  𝒰 mit x  ∈  U, y  ∈  V und U ∩ V = ∅.

(Hausdorff-Trennungseigenschaft)

Jeder metrische Raum ist ein Hausdorff-Raum. Umgekehrt kann die Trennungseigenschaft manche ε/2-Argumente ersetzen. Dass je zwei verschiedene Punkte disjunkte Umgebungen besitzen genügt zum Beispiel für die Eindeutigkeit des Grenzwerts und dafür, dass jede Einermenge { x } abgeschlossen ist.

Beispiele

(1)

Die Topologie 𝒰_[ ) auf ℝ ist Hausdorffsch, da für alle a < b in ℝ die Intervalle [ a, b [, [ b, b + 1 [ disjunkte offene Mengen sind. Eine Folge (x_n)_n ∈ ℕ in ℝ konvergiert genau dann gegen x, wenn in jedem Intervall [ x, x + ε [ fast alle Folgenglieder liegen. Dies ist zum Beispiel der Fall, wenn (x_n)_n ∈ ℕ monoton fallend gegen x konvergiert. Dagegen konvergiert zum Beispiel (−1/n)_n ≥ 1 nicht gegen 0 in dieser Topologie.

(2)

Sei X eine unendliche Menge, und sei 𝒰 die koendliche Topologie auf X. Ist (x_n)_n ∈ ℕ eine injektive Folge in X und x  ∈  X beliebig, so gilt lim_n x_n = x, denn außerhalb jeder offenen Umgebung U von x liegen nur endlich viele Glieder der Folge, da X − U endlich ist. Die Topologie 𝒰 ist nicht Hausdorffsch, da für alle x, y  ∈  X offene U, V mit x  ∈  U, y  ∈  V unendlich sind und also für x ≠ y nicht disjunkt sein können.

(3)

Sei X eine Menge und

𝒰 = { ∅ } ∪ { U ⊆ ℝ | ℝ − U ist abzählbar }

die koabzählbare Topologie auf X. Gilt lim_n x_n = x in (X, 𝒰), so ist die offene Menge U = ℝ − { x_n | x_n ≠ x } eine Umgebung von x. Also gibt es ein n₀ mit x_n  ∈  U für alle n ≥ n₀. Dann gilt aber x_n = x für alle n ≥ n₀ nach Definition von U. Da schließlich konstante Folgen in jeder Topologie konvergieren, sind die konvergenten Folgen in (X, 𝒰) also genau die schließlich konstanten Folgen. Die Topologie 𝒰 ist nicht Hausdorffsch, wenn X überabzählbar ist.

Von den metrischen Räumen sind wir die Äquivalenz der Umgebungsstetigkeit und der Limesstetigkeit gewohnt. Für beliebige topologische Räume impliziert die Limesstetigkeit im Allgemeinen nicht mehr die Stetigkeit:

Beispiel

Seien 𝒰 und 𝒰_euk die koabzählbare bzw. euklidische Topologie auf ℝ. Dann ist id : (ℝ, 𝒰) → (ℝ, 𝒰_euk) nicht stetig, da zum Beispiel ] 0, 1 [ = id⁻¹(] 0, 1 [) nicht offen in 𝒰 ist. Die Limesstetigkeit gilt, da konvergente Folgen in (ℝ, 𝒰) schließlich konstant sind.

Bemerkenswerterweise gibt es aber eine Verallgemeinerung der Limesstetigkeit, die punktweise äquivalent zur topologischen Stetigkeit ist (entdeckt von Eliakim Moore und Herman Smith 1922). Hierzu wird die Index-Menge ℕ einer Folge (x_n)_n ∈ ℕ durch allgemeinere Strukturen ersetzt:

Definition (gerichtete Menge)

Sei I eine Menge, und sei ≤ eine reflexive und transitive Relation auf I. Dann heißt (I, ≤) gerichtet, falls für alle i, j  ∈  I ein k  ∈  I existiert mit i, j ≤ k.

Gilt i ≤ j in I, so sagen wir auch, dass j nach i in I kommt.

Damit definieren wir nun:

Definition (Netz)

Seien X eine Menge und (I, ≤) gerichtet. Dann heißt eine I-Folge (x_i)_{i  ∈  I} in X ein Netz in X.

Die topologische Konvergenzbedingung für Folgen lässt sich nun ganz analog für Netze formulieren:

Definition (Konvergenz eines Netzes)

Sei (X, 𝒰) ein topologischer Raum. Ein Netz (x_i)_{i  ∈  I} in X heißt konvergent gegen ein x  ∈  X in (X, 𝒰), falls gilt:

Für jede Umgebung U von x existiert ein i₀, sodass x_i  ∈  U für alle i ≥ i₀.

(Konvergenzbedingung für Netze)

Die Eindeutigkeit eines Netz-Grenzwerts ist erneut nur dann gewährleistet, wenn (X, 𝒰) ein Hausdorff-Raum ist.

Beispiel

Sei (X, 𝒰) ein topologischer Raum, und sei p  ∈  X. Sei

I = { U  ∈  𝒰 | p  ∈  U }

die Menge der offenen Umgebungen von p. Dann ist (I, ⊇) gerichtet. In I kommt ein U nach einem V, wenn U eine Teilmenge von V ist. „Spätere“ Elemente sind also kleiner, und „ab U₀“ bedeutet „für alle U ⊆ U₀“.

Ist nun (x_U)_{U  ∈  I} ein Netz in X mit x_U  ∈  U für alle U  ∈  I, so gilt

lim_{U  ∈  I} x_U = p.

Denn für jede Umgebung N von p existiert ein U₀  ∈  I mit U₀ ⊆ N, und dann gilt x_U  ∈  N für alle U  ∈  I nach U₀. Es gilt also x_U  ∈  N ab U₀.

Die Netze dieses Beispiels spielen eine wichtige Rolle im folgenden Beweis.

Satz (Äquivalenz der topologischen Stetigkeit und der Netzstetigkeit)

Sei f : (X, 𝒰) → (Y, 𝒱), und sei p  ∈  X. Dann sind äquivalent:

(a)	f ist stetig in p.

(b)	Für jedes Netz (x_i)_{i  ∈  I} in X gilt: lim_{i  ∈  I} x_i = p impliziert lim_{i  ∈  I} f (x_i) = f (p).

Beweis

(a) impliziert (b):

Sei (x_i)_i ∈ I ein Netz in X mit lim_{i  ∈  I} x_i = p. Weiter sei V  ∈  𝒱 mit f (p)  ∈  V. Da f stetig in p ist, gibt es ein U  ∈  𝒰 mit p  ∈  U und f (x)  ∈  V für alle x  ∈  U. Wegen lim_{i  ∈  I} x_i = x gibt es dann ein i₀  ∈  I mit x_i  ∈  U für alle i ≥ i₀. Dann gilt aber f (x_i)  ∈  V für alle i ≥ i₀. Dies zeigt, dass lim_{i  ∈  I} f (x_i) = f (p).

(b) impliziert (a):

Annahme, f ist nicht stetig in p. Dann existiert ein V  ∈  𝒱, sodass für alle U  ∈  𝒰 mit p  ∈  U ein x_U  ∈  U existiert mit f (x_U)  ∉  V. Dies definiert ein Netz (x_U)_{U  ∈  I} in X mit I wie im Beispiel oben. Dann gilt lim_{U  ∈  I} x_U = p und nach (b) also lim_{U  ∈  I} f (x_U) = f (p). Also existiert ein U₀  ∈  I, sodass sodass f (x_U)  ∈  V für alle U ⊆ U₀, im Widerspruch zur Definition von x_U.

Auch andere Limesformulierungen der Theorie der metrischen Räume lassen sich verallgemeinern. So gilt zum Beispiel: Ist (X, 𝒰) ein topologischer Raum, so ist ein A ⊆ X genau dann abgeschlossen, wenn für jedes Netz in A, das in (X, 𝒰) gegen ein x  ∈  X konvergiert, gilt, dass x  ∈  A. Die abgeschlossenen Mengen in topologischen Räumen sind also genau die Mengen, die abgeschlossen unter der Konvergenz von Netzen sind.