Überdeckungen
Wir beginnen mit einer abstrakten, dabei aber einfachen Definition.
Definition (Überdeckung)
Sei P ⊆ ℝ, und sei 𝒰 ⊆ ℘(ℝ), d. h., 𝒰 ist eine Menge von Teilmengen von ℝ. Dann heißt 𝒰 eine Überdeckung von P, falls gilt:
P ⊆ ⋃ 𝒰 = { x | es gibt ein U ∈ 𝒰 mit x ∈ U }.
Eine Überdeckung 𝒰 von P heißt offen, falls jedes U ∈ 𝒰 offen ist.
Ein Mengensystem 𝒰 ist also eine Überdeckung von P, falls jedes Element von P in mindestens einer Menge des Systems als Element enthalten ist. Die Mengen in 𝒰 müssen nicht paarweise disjunkt sein.
Einige allgemeine Eigenschaften von Überdeckungen sind:
(1) | Jedes 𝒰 ⊆ ℘(ℝ) ist eine Überdeckung von ⋃ 𝒰. |
(2) | Ist 𝒰 eine Überdeckung von P, und sind 𝒱 ⊇ 𝒰 und Q ⊆ P, so ist 𝒱 eine Überdeckung von Q. |
(3) | Ist 𝒰 eine Überdeckung von P und 𝒱 eine Überdeckung von Q, so ist 𝒰 ∪ 𝒱 eine Überdeckung von P ∪ Q. |
(4) | { P } ist eine Überdeckung von P, da P = ⋃ { P }. |
(5) | Jedes 𝒰 ⊆ ℘(ℝ) ist eine Überdeckung von ∅, da ∅ ⊆ ⋃ 𝒰. Insbesondere sind ∅ und { ∅ } offene Überdeckungen der leeren Menge. |
Beispiele für offene Überdeckungen
(1) | Für alle ε > 0 ist { Uε(q) | q ∈ ℚ } eine offene Überdeckung von ℝ. Allgemeiner gilt dies, wenn ℚ durch eine dichte Menge ersetzt wird. |
(2) | Ist f : ℝ → ℝ stetig und ε > 0, so ist 𝒰 = { f −1[ Uε(y) ] | y ∈ ℝ } eine offene Überdeckung von ℝ. Allgemeiner gilt: Ist f : P → ℝ stetig und 𝒱 eine offene Überdeckung von f [ P ], so ist 𝒰 = { f −1[ V ] | V ∈ 𝒱 } eine offene Überdeckung von P. |
𝒰 = { U1, …, U8 } ist eine Überdeckung des abgeschlossenen Einheitsintervalls [ 0, 1 ] mit endlich vielen offenen Intervallen. Auch 𝒰 − { U3 } ist eine Überdeckung, das Intervall U3 ist in diesem Sinne also überflüssig.
Wir werden sehen, dass viele offene Überdeckungen einen unnötigen Ballast beinhalten. Hierzu definieren wir:
Definition (endlich reduzierbar, endliche Teilüberdeckung)
Sei 𝒰 eine Überdeckung von P. Dann heißt 𝒰 endlich reduzierbar (bzgl. P), falls U1, …, Un ∈ 𝒰 existieren mit
P ⊆ U1 ∪ … ∪ Un.
Die Menge { U1, …, Un } heißt dann eine endliche Teilüberdeckung von P in 𝒰.
𝒰 = { U1, U2, U3, … } ist eine nicht endlich reduzierbare offene Überdeckung von [ 0, ∞ [.