Charakterisierung der kompakten Teilmengen von ℝ
Die kompakten Teilmengen der reellen Zahlen besitzen eine überraschend einfache Charakterisierung. Das Argument des folgenden berühmten Satzes wird von der Kompaktheit der Intervalle [ a, b ] getragen. Wir müssen nur noch einige Beobachtungen hinzufügen.
Satz (Satz von Heine-Borel)
Sei C ⊆ ℝ. Dann sind äquivalent:
(a) | C ist kompakt. |
(b) | C ist abgeschlossen und beschränkt. |
Beweis
(a) impliziert (b): Sei C kompakt. Zum Beweis der Abgeschlossenheit von C sei V = ℝ − C. Wir zeigen, dass V offen ist. Sei hierzu p ∈ V beliebig. Für alle x ∈ C seien Ux, Vx offen mit
x ∈ Ux, p ∈ Vx, Ux ∩ Vx = ∅.
Dann ist 𝒰 = { Ux | x ∈ C } eine offene Überdeckung von C. Also gibt es x1, …, xn ∈ C mit C ⊆ Ux1 ∪ … ∪ Uxn. Dann gilt aber
V = ℝ − C ⊇ (ℝ − Ux1) ∩ … ∩ (ℝ − Uxn) ⊇ Vx1 ∩ … ∩ Vxn
Die Menge auf der rechten Seite ist eine offene Umgebung von p.
Zum Beweis der Beschränktheit von C betrachten wir ein beliebiges p ∈ ℝ und die offene Überdeckung
𝒱 = { Un(p) | n ≥ 1 }
von C. Aufgrund der Kompaktheit von C gibt es n1 < … < nk mit
C ⊆ Un1(p) ∪ … ∪ Unk(p) = Unk(p).
Also ist C beschränkt.
(b) impliziert (a): Die Aussage ist klar für C = ∅. Sei also C ≠ ∅, und seien
a = inf (C), b = sup(C).
Dann ist C eine abgeschlossene Teilmenge der kompakten Menge [ a, b ] und damit kompakt nach dem obigen Satz.
Der Beweis von „(a) impliziert (b)“ zieht keine speziellen kompakten Mengen heran. Dagegen beruht die andere Implikation wesentlich auf der Kompaktheit der abgeschlossenen Intervalle [ a, b ] in ℝ.