Kompaktheit in metrischen Räumen
Die Definition der Kompaktheit einer Menge reeller Zahlen verwendet lediglich offene Mengen und keine speziellen Eigenschaften von ℝ. Sie steht damit unverändert für metrische und allgemeiner topologische Räume zur Verfügung. Wir konzentrieren uns hier auf die metrischen Räume, gehen am Ende aber auf kompakte topologische Räume noch kurz ein.
Definition (kompakte Teilmenge und kompakte Räume)
Sei (X, d) ein metrischer Raum, und sei C ⊆ X. Dann heißt C kompakt in (X, d), falls jede offene Überdeckung von C endlich reduzierbar ist, d. h., ist 𝒰 eine Menge offener Teilmengen von X mit C ⊆ ⋃ 𝒰, so gibt es U1, …, Un ∈ 𝒰 mit C ⊆ U1 ∪ … ∪ Un. Die Menge { U1, …, Un } heißt dann eine endliche Teilüberdeckung von C in 𝒰.
Der Raum (X, d) heißt kompakt, falls X kompakt in (X, 𝒰) ist.
Wie für das Kontinuum zeigt man:
Satz (Eigenschaften kompakter Mengen in metrischen Räumen)
Sei (X, d) ein metrischer Raum. Dann gilt:
(a) | Jede endliche Teilmenge von X ist kompakt. |
(b) | Eine endliche Vereinigung kompakter Mengen ist kompakt. |
(c) | Eine abgeschlossene Teilmenge einer kompakten Menge ist kompakt. |
(d) | Eine kompakte Menge ist abgeschlossen und beschränkt. |
(e) | Der Durchschnitt kompakter Mengen ist kompakt. |
Wir werden dagegen gleich sehen, dass abgeschlossene und beschränkte Teilmengen von X im Allgemeinen nicht mehr kompakt sind.
Aus der Abgeschlossenheit kompakter Mengen erhalten wir:
Korollar (Schachtelungsprinzip für kompakte Mengen)
Sei (X, d) ein metrischer Raum, und seien Cn ⊆ X nichtleer und kompakt mit
C0 ⊇ C1 ⊇ … ⊇ Cn ⊇ …
Dann gilt ⋂n ∈ ℕ Cn ≠ ∅.
Beweis
Annahme, ⋂n ∈ ℕ Cn = ∅. Dann ist 𝒰 = { X − Cn | n ∈ ℕ } eine offene Überdeckung von C0. Folglich existiert ein n mit
C0 ⊆ ⋃k ≤ n (X − Ck) = X − ⋂k ≤ n Ck = X − Cn,
im Widerspruch zu Cn ⊆ C0 und Cn ≠ ∅.
Explizit halten wir fest:
Satz (kompakte Teilräume)
Sei (X, d) ein metrischer Raum, und sei C ⊆ X. Dann ist C genau dann kompakt in (X, d), wenn der Teilraum (C, d) kompakt ist.
Prinzipiell genügt es also, kompakte Räume zu untersuchen. Dennoch ist es oft instruktiv, die kompakten Teilmengen eines Raumes zu bestimmen.
Beispiel
Sei X eine Menge, und sei d die diskrete Metrik auf X. Dann ist ein C ⊆ X genau dann kompakt, wenn C endlich ist. Denn eine endliche Menge ist in jedem metrischen Raum kompakt. Ist umgekehrt C kompakt in (X, d), so ist
𝒰 = { U1(x) | x ∈ C } = { { x } | x ∈ C }
eine offene Überdeckung von C. Also gibt es x1, …, xn ∈ C mit C ⊆ { x1 } ∪ … ∪ { xn } = { x1, …, xn }, sodass C endlich ist.
Die kompakten Teilmengen des ℝn unter der euklidischen Metrik werden wir gleich bestimmen. Vorab halten wir noch fest:
Satz (Kompaktheit bei topologischer Äquivalenz)
Sei X eine Menge, und seien d und e topologisch äquivalente Metriken auf X. Dann besitzen (X, d) und (X, e) dieselben kompakten Mengen.
Beweis
Die Räume (X, d) und (X, e) haben dieselben offenen Mengen, und die Kompaktheit einer Teilmenge eines metrischen Raumes hängt nur von den offenen Mengen des Raumes ab.
Für alle n ≥ 1 haben zum Beispiel die Räume (ℝn, deuk), (ℝn, dσ), (ℝn, dmax) dieselben kompakten Mengen.