Stetige Funktionen auf kompakten Räumen
Wie für ℝ können wir zeigen:
Satz (stetige kompakte Bilder)
Ist f : (X, d) → (Y, e) stetig und C ⊆ X kompakt, so ist f[ C ] ⊆ Y kompakt.
Korollar (Homöomorphiesatz für kompakte metrische Räume)
Ist (X, d) kompakt und f : (X, d) → (Y, e) stetig und bijektiv, so ist die Umkehrabbildung f −1 : Y → X stetig.
Beispiele
(1) | Seien n, m ≥ 1, und sei f : ℝn → ℝm stetig. Weiter sei a > 0. Dann ist C = { x ∈ ℝn | ∥ x ∥2 ≤ a } abgeschlossen und beschränkt, also kompakt. Folglich ist f[ C ] kompakt und damit abgeschlossen und beschränkt in ℝm. Eine abgeschlossene n-dimensionale Kugel landet also unter einer stetigen Abbildung innerhalb einer m-dimensionalen Kugel und bleibt dabei, so deformiert sie auch sein mag, abgeschlossen. |
(2) | Eine stetige Funktion f : [ 0, 1 ]2 → [ 0, 1 [, f : [ 0, 1 ]2 → ] 0, 1 [2 oder f : [ 0, 1 ]2 → ℝ kann nicht surjektiv sein, da ihr Wertebereich kompakt ist. |
(3) | Es gibt keine stetige Bijektion f : [ 0, 1 ] → K für die Einheitskreislinie K ⊆ ℝ2. Denn nach dem Homöomorphiesatz wäre sonst g = f −1 stetig. Für K* = K − { f (1/2) } wäre dann h = g|K* eine stetige Bijektion von K* nach P = [ 0, 1/2 [ ∪ ] 1/2, 1 ]. Dies ist unmöglich, da K* zusammenhängend, aber P unzusammenhängend ist. (Vgl. zu dieser Argumentation auch den Ausblick zu Peano-Kurven in 3. 1.) |
Explizit notieren wir auch noch:
Korollar (Annahme von Maximum und Minimum)
Ist (X, d) kompakt und f : X → ℝ stetig (unter deuk auf ℝ), so nimmt f ihr Maximum und ihr Minimum an.
Beweis
Das Bild C = f[ X ] ist kompakt in ℝ, also existieren min(C) und max(C).
Beispiel
Die Spektralnorm einer Matrix A ∈ ℝm × n wird angenommen, d. h.
∥ A ∥ = sup∥ x ∥ ≤ 1 ∥ Ax ∥ = sup∥ x ∥ = 1 ∥ Ax ∥ = max∥ x ∥ = 1 ∥ Ax ∥.
Denn die stetige Abbildung, die x ∈ ℝn auf ∥ A x ∥ ∈ ℝ abbildet, nimmt auf der kompakten Einheitskugel im ℝn ihr Maximum an. Analog für ∥ A ∥p, q.
Mit Hilfe des Satzes über kompakte Bilder können wir nun auch das in 2. 4 angegebene Ergebnis über Normen beweisen:
Satz (Äquivalenz von Normen)
Sei V ein endlich-dimensionaler 𝕂-Vektorraum mit 𝕂 = ℝ oder 𝕂 = ℂ. Dann sind je zwei Normen auf V äquivalent.
Beweis
Sei ∥ · ∥ eine Norm auf V. Weiter sei b1, …, bn eine Basis von V und ∥ · ∥1 die 1-Norm auf V bzgl. dieser Basis, d. h., es gilt
∥ v ∥1 = ∑1 ≤ k ≤ n |αk| für alle v = ∑1 ≤ k ≤ n αk bk ∈ V.
Es genügt zu zeigen, dass ∥ · ∥ und ∥ · ∥1 äquivalent sind. Hierzu sei
c1 = max1 ≤ k ≤ n ∥ bk ∥.
Dann gilt für alle v = ∑1 ≤ k ≤ n αkbk ∈ V nach der Dreiecksungleichung:
(+) ∥ v ∥ = ∥ ∑1 ≤ k ≤ n αk bk ∥ ≤ ∑1 ≤ k ≤ n |αk| ∥ bk ∥ ≤ c1 ∥ v ∥1.
Dies zeigt die erste Abschätzung. Weiter folgt aus (+):
(++) ∥ · ∥ : V → ℝ ist Lipschitz-stetig bzgl. ∥ · ∥1 auf V (mit L = c1).
Denn für alle v, w ∈ V gilt
| ∥ v ∥ − ∥ w ∥ | ≤ ∥ v − w ∥ ≤ c1 ∥ v − w ∥1.
Für die andere Abschätzung zeigen wir zunächst:
(+++) S = { v ∈ V | ∥ v ∥1 = 1 } ist kompakt in V bzgl. ∥ · ∥1.
Beweis von (+++)
Sei 𝒰 eine offene Überdeckung von S bzgl. ∥ · ∥1. Dann induziert 𝒰 durch Übergang von ∑1 ≤ k ≤ n αk bk ∈ V zu (α1, …, αn) ∈ 𝕂n eine offene Überdeckung 𝒱 der kompakten Menge C = { x ∈ 𝕂n | ∥ x ∥1 = 1 } in 1-Norm (mit der induzierten Summenmetrik dσ auf 𝕂n). Eine endliche Reduzierung von 𝒱 liefert eine solche von 𝒰.
Nach (++) und (+++) hat S ein kompaktes Bild unter ∥ · ∥. Also existiert ein v* ∈ S mit ∥ v *∥ ≤ ∥ v ∥ für alle v ∈ S. Für alle v ∈ V − { 0 } gilt also
∥ v* ∥ ≤ ∥ v∥ v ∥1 ∥.
Wegen 0 ∉ S gilt ∥ v* ∥ ≠ 0. Für c2 = ∥ v* ∥−1 gilt also
∥ v ∥1 ≤ c2 ∥ v ∥ für alle v ∈ V.