Lebesgue-Zahlen und der Satz von Heine
Wie für das Kontinuum kann man zeigen, dass sich die Stetigkeit einer Funktion auf einem kompakten metrischen Raum zur gleichmäßigen Stetigkeit verstärkt. Wir wollen noch ein interessantes alternatives Argument vorstellen.
Definition (Lebesgue-Zahl einer Überdeckung)
Sei (X, d) ein metrischer Raum, und sei 𝒰 eine Überdeckung von X. Dann heißt ein λ > 0 eine Lebesgue-Zahl für 𝒰, falls gilt:
Für alle P ⊆ X mit diam(P) < λ existiert ein U ∈ 𝒰 mit P ⊆ U.
Überdeckt 𝒰 den Raum X, so gibt es für alle { x } ⊆ X ein U ∈ 𝒰 mit { x } ⊆ U. Ist λ eine Lebesgue-Zahl für 𝒰, so können wir die einpunktige Menge { x } durch eine beliebige Menge mit einen Durchmesser kleiner λ ersetzen. Jede „λ-Erbse“ in X liegt dann in einer Menge U von 𝒰. Für offene Überdeckungen kompakter Räume existiert ein solches λ:
Satz (Lebesgue-Zahl in kompakten Räumen)
Sei (X, d) ein kompakter metrischer Raum, und sei 𝒰 eine offene Überdeckung von X. Dann existiert eine Lebesgue-Zahl für 𝒰.
Beweis
Für jedes x ∈ X sei ε(x) > 0 so, dass ein U ∈ 𝒰 existiert mit U2 ε(x)(x) ⊆ U. Dann ist
𝒱 = { Uε(x)(x) | x ∈ X }
eine offene Überdeckung von X. Also existieren x1, …, xn ∈ X mit
(+) X = Uε(x1)(x1) ∪ … ∪ Uε(xn)(xn).
Sei λ = mink ≤ n ε(xk). Dann ist λ eine Lebesgue-Zahl für 𝒰.
Denn für alle nichtleeren P ⊆ X mit diam(P) < λ gibt es wegen (+) ein k ∈ { 1, …, n } mit
P ∩ Uε(xk)(xk) ≠ ∅.
Wegen diam(P) < λ ≤ ε(xk) ist P ⊆ U2 ε(xk)(xk). Nach Definition von ε(xk) ist U2 ε(xk)(xk) in einer Menge U ∈ 𝒰 enthalten. Für ein solches U gilt P ⊆ U.
Wir erhalten:
Korollar (gleichmäßige Stetigkeit auf kompakten Räumen, Satz von Heine)
Sei (X, d) kompakt, und sei f : (X, d) → (Y, e) stetig. Dann gilt
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀P ⊆ X (diam(P) < δ → diam(f[ P ]) < ε),
d. h., f ist gleichmäßig stetig.
Beweis
Sei ε > 0. Sei δ eine Lebesgue-Zahl für
𝒰 = { f −1[ V ] | V ⊆ Y offen, diam(V) < ε }.
Für alle P ⊆ X mit diam(P) < δ ist dann P Teilmenge einer Menge f −1[ V ] mit diam(V) < ε. Also ist δ wie gewünscht.