Kompakte topologische Räume
Da die Überdeckungs- und Kompaktheitsbegriffe nur offene Menge verwenden, stehen sie für beliebige topologische Räume zur Verfügung. Ist also (X, 𝒰) ein topologischer Raum, so ist ein C ⊆ X kompakt, wenn jede offene Überdeckung von C endlich reduzierbar ist. Ein metrischer Raum (X, d) ist genau dann kompakt, wenn der von ihm erzeugte topologische Raum (X, 𝒰) dies ist.
In einem topologischen Raum (X, 𝒰) ist wieder jede endliche Teilmenge kompakt und die kompakten Mengen sind abgeschlossen unter endlichen Vereinigungen. Weiter sind abgeschlossene Teilmengen kompakter Mengen kompakt. Dagegen sind kompakte Mengen im allgemeinen nicht mehr abgeschlossen. Zum Beispiel ist die Einermenge { 0 } in der trivialen Topologie 𝒰 = { ∅, X } auf der Menge X = { 0, 1 } kompakt, aber nicht abgeschlossen. Ist jedoch (X, 𝒰) ein Hausdorff-Raum, so sind kompakte Mengen wie gewohnt abgeschlossen und die kompakten Teilmengen einer kompakten Menge C ⊆ X sind dann genau die abgeschlossenen Teilmengen von C.
Beispiel
Sei 𝒰[ ) die halboffene Topologie auf ℝ, und sei C ⊆ ℝ kompakt in (ℝ, 𝒰[ )).
Wir zeigen, dass C abzählbar ist. Sei hierzu x ∈ C und
𝒰 = { ] −∞, q [ | q ∈ ℚ, q < x } ∪ { [ x, ∞ [ }.
Dann ist 𝒰 eine offene Überdeckung von C, also endlich reduzierbar. Folglich gibt es eine rationale Zahl f (x) = qx < x mit [ qx, x [ ∩ C = ∅. Dies definiert eine Injektion f : C → ℚ. Damit ist C abzählbar. Ist also x ∈ ℝ und U eine Umgebung von x, so ist U nicht kompakt, da U eine überabzählbare Menge der Form [ x, x + ε [ enthält. Konvergiert (xn)n ∈ ℕ monoton fallend und (yn)n ∈ ℕ monoton steigend gegen x, so ist { xn | n ∈ ℕ } ∪ { x } kompakt, aber { yn | n ∈ ℕ } ∪ { x } nicht kompakt (denn das System aller [ yn, yn + 1 [ zusammen mit [ x, x + 1 [ ist nicht endlich reduzierbar).