Die Länge einer Kurve

Einen präzisen Längenbegriff erhalten wir durch die Approximation einer vorliegenden Kurve mit Hilfe von Polygonzügen, deren Länge elementargeometrisch bekannt ist. Bei der geometrischen Berechnung des Kreisumfangs hatten wir diese Methode bereits angewandt. Wir hatten dem Kreis regelmäßige n-Ecke einbeschrieben und seinen Umfang durch einen Grenzübergang bestimmt (vgl. 3.5 in Band 1 und auch den Ausblick zu 1. 5). Für die Definition der Längenapproximation einer beliebigen Kurve leisten die aus der Integration bekannten (stützstellenfreien) Partitionen gute Dienste:

Definition (Polygonzug-Approximation)

Polygon-Approximation von f

Sei f : [ a, b ] → ℝⁿ eine Kurve. Für eine Partition p = (t_k)_k ≤ n von [ a, b ] setzen wir

L_pf = ∑_k ≤ n ∥ f(t_k + 1) − f (t_k) ∥.

Die reelle Zahl L_pf ist die euklidische Länge des durch die Punkte

f (a) = f (t₀), f (t₁), …, f(t_n + 1) = f (b)

definierten Polygonzugs. Damit können wir definieren:

Definition (rektifizierbar, Länge, L(f))

Eine Kurve f : [ a, b ] → ℝⁿ heißt rektifizierbar, falls ein c  ∈  ℝ existiert mit:

Für alle ε > 0 existiert ein δ > 0 mit:

Für alle Partitionen p von [ a, b ] der Feinheit δ gilt |L_pf − c| < ε.

(Rektifizierbarkeitsbedingung für c)

Die reelle Zahl c heißt dann die (euklidische) Länge von f, und wir schreiben

c = L(f).

Der Leser vergleiche die Rektifizierbarkeitsbedingung mit der Riemannschen Integrierbarkeitsbedingung. Die beiden Bedingungen sind analog, wobei nun die Polygonzug-Längen L_pf an die Stelle der Riemann-Summen ∑_pf treten. Wie für das Riemann-Integral lässt sich die Rektifizierbarkeit als Limes formulieren. Und wie dort erhalten wir: Ist f rektifizierbar und (p_n)_{n  ∈  ℕ} eine Folge von Partitionen mit lim_n δ(p_n) = 0, so gilt L(f) = lim_n L_{p_n}(f).

Wie erwartet hängt die Länge einer Kurve nicht von der Parametrisierung ab:

Satz (Unabhängigkeit der Länge von der Parametrisierung)

Sei f : [ a, b ] → ℝⁿ rektifizierbar, und sei φ : [ c, d ] → [ a, b ] stetig und bijektiv. Dann ist g = f ∘ φ rektifizierbar, und es gilt L(f) = L(g).

Der Beweis sei dem Leser zur Übung überlassen.

Unser Längenbegriff berücksichtigt mehrfach durchlaufene Abschnitte der Spur. So hat zum Beispiel die Kurve f : [ 0, 1 ] → ℝ mit

f (t) = |2 (t − 1/2)| für alle t  ∈  [ 0, 1 ]

die Länge 2, während die Spur [ 0, 1 ] von f die Länge 1 besitzt. Die Kurve beschreibt einen Punkt, der sich in der Zeit [ 0, 1/2 ] von 1 nach 0 und in der Zeit [ 1/2, 1 ] von 0 nach 1 bewegt. Die Länge einer fast injektiven Kurve hängt dagegen nur von ihrer Spur ab.

Der folgende Satz besagt, dass die stetige Differenzierbarkeit einer Kurve ihre Rektifizierbarkeit nach sich zieht und dass die Länge einer derartigen Kurve das Integral über die Norm der Momentangeschwindigkeiten ist:

Satz (Längensatz)

Sei f : [ a, b ] → ℝⁿ stetig differenzierbar. Dann ist f rektifizierbar und

L(f) = ∫^b_a∥ f ′(t)∥ dt. (Längenformel)

Das Ergebnis ist ein bemerkenswertes Zusammenspiel von Differentiation und Integration. Die Länge einer Kurve ist das Mittel der Momentangeschwindigkeiten (genauer: ihrer Normen), multipliziert mit der Gesamtzeit b − a des Durchlaufs der Kurve. Ist die Geschwindigkeit konstant gleich 1, so ist die Länge von f einfach gleich b − a. Die Krümmung und viele andere geometrische Größen spielen für die Länge keine Rolle. Zwei stetig differenzierbare Kurven auf [ a, b ], die zu jedem Zeitpunkt t gleichlange Tangentialvektoren besitzen, haben dieselbe Länge.

Lesen wir das Integral als infinitesimale Summe, so ist der Satz unter der kinematischen Interpretation recht einleuchtend: „Weg ist Geschwindigkeit mal Zeit“, und damit ist ∥f ′(t)∥dt der in der infinitesimalen Zeit dt zurückgelegte infinitesimale Weg eines die Kurve durchlaufenden Punktes zur Zeit t. Alle diese Wege aufintegriert ergeben die Länge der Kurve. Ohne Verwendung von infinitesimalen Größen können wir die Formel so begründen:

Kinematische Begründung der Längenformel

Ist p = (t_k)_k ≤ n eine hinreichend feine Partition, so können wir f ′(t) in den Intervallen von p mit kleinem Fehler durch Differenzenquotienten ersetzen:

∫^b_a∥ f ′(t) ∥ dt	= ∑_k ≤ n ∫^t_k + 1_{t_k}∥ f ′(t) ∥ dt ∼ ∑_k ≤ n ∫^t_k + 1_{t_k}^{∥ f (t_k + 1) − f (t_k) ∥}_{t_k + 1 − t_k} dt
	= ∑_k ≤ n ∥ f(t_k + 1) − f (t_k) ∥ = L_pf.

Diese Heuristik möge vorläufig genügen. Einen vollständigen Beweis der Formel geben wir später mit Hilfe einer äquivalenten Definition der Länge einer Kurve, die den Begriff der Variation verwendet.

Ein Spezialfall der Längenberechnung von Kurven ist die Berechnung der Länge von Graphen reellwertiger Funktionen. Die Integrationstheorie ermöglichte die Berechnung der von einem Graphen und der x-Achse eingeschlossenen signierten Fläche, die natürliche Frage, wie die Länge des Graphen bestimmt werden könne, blieb bislang unbeantwortet. Aus dem Satz erhalten wir nun eine Formel hierfür:

Korollar (Länge von Graphen)

Sei g : [ a, b ] → ℝ stetig differenzierbar. Dann ist

∫^b_a $\sqrt{1 + g′ (t)^{2}}$ dt

die Länge des Graphen von g, d. h., die Länge der Kurve f : [ a, b ] → ℝ² mit

f (t) = (t, g(t)) für alle t  ∈  [ a, b ].

Beweis

Die Kurve f ist stetig differenzierbar mit

f ′(t) = (1, g′(t)) für alle t  ∈  [ a, b ].

Damit gilt also

∥ f ′(t) ∥ = $\sqrt{1 + g′ (t)^{2}}$ für alle t  ∈  [ a, b ],

sodass die Behauptung aus der Längenformel folgt.

Wir bestimmen nun die Längen einiger Graphen und Kurven.

Beispiel 1: Geraden

Seien c, d  ∈  ℝ, und sei g : [ a, b ] → ℝ mit g(t) = ct + d für alle t  ∈  [ a, b ]. Dann ist die Länge des Graphen von g gleich

∫^b_a $\sqrt{1 + g′ (t)^{2}}$ dt = (b − a) $\sqrt{1 + c^{2}}$ = $\sqrt{(b - a)^{2} + (g (b) - g (a))^{2}}$ ,

in Übereinstimmung mit dem Satz des Pythagoras.

Beispiel 2: Kreisbögen

Sei r > 0. Wir betrachten die Kurve f_r : [ a, b ] → ℝ² mit

f_r(t) = r e^i t = r (cos t, sin t) für alle t  ∈  [ a, b ],

also die gleichmäßige Bewegung auf einem Kreis mit Radius r gegen den Uhrzeigersinn. Die Kurve f_r ist stetig differenzierbar, und es gilt

f_r′(t) = r i e^i t = r (−sin t, cos t) für alle t  ∈  [ a, b ].

Also ist

L(f) = ∫^b_a∥ f_r′(t) ∥ dt = ∫^b_ar dt = r (b − a).

Ist speziell [ a, b ] = [ 0, 2π ], so ist L(f_r) = r2π der Umfang des Kreises mit Radius r und Mittelpunkt 0 in der Ebene.

Beispiel 3: Die Länge eines Parabelbogens

Sei f : [ a, b ] → ℝ² die Parabelkurve auf [ a, b ], d. h., es gilt

f (t) = (t, t²) für alle t  ∈  [ a, b ].

Dann gilt für alle t  ∈  [ a, b ]:

∥ f ′(t) ∥ = $\sqrt{1 + 4 t^{2}}$ = 2 $\sqrt{1 / 4 + t^{2}}$ .

Für alle c  ∈  ℝ ist G : ℝ → ℝ mit

G(x) = $\frac{x g (x) + c^{2} log (x + g (x))}{2}$

eine Stammfunktion der Funktion g mit

g(x) = $\sqrt{c^{2} + x^{2}}$ .

Mit c = 1/2 gilt ∥ f ′(t) ∥ = 2 g(x) und damit

L(f) = ∫^b_a ∥ f ′(t) ∥ dt = ${[2 G (x)]}_{x = a}^{x = b}$ = ${[x g (x) + \frac{1}{4} log (x + g (x))]}_{x = a}^{x = b}$ .

Setzen wir a = 0 und b = 1, so ergibt sich für die Länge L des Parabelbogens über dem Einheitsintervall [ 0, 1 ]:

L	= g(1) + ¹₄ (log(1 + g(1)) − log(g(0)))
	= g(1) + ¹₄ log(^1 + g(1)_g(0)) = $\frac{\sqrt{5}}{2}$ + ¹₄ log(2 + $\sqrt{5}$ ).

Numerisch ist L = 1,4789… Die Differenz zur Länge $\sqrt{2}$ = 1,4142… der Diagonale im Einheitsquadrat ist überraschend gering.

Beispiel 4: Die Zykloide

Wir legen den Einheitskreis auf den Nullpunkt der reellen Achse und markieren den Auflagepunkt (0, 0) des Kreises. Nun rollen wir den Kreis gleichmäßig entlang der x-Achse ab. Der markierte Punkt durchläuft dabei einen Bogen, der nach einer halben Umdrehung des Kreises bei (π, 2) und nach einer vollen Umdrehung des Kreises bei (2π, 0) angelangt ist. Die entstehende Kurve ist als Zykloide bekannt. Analytisch können wir die Zykloide f : [ 0, 2π ] → ℝ² definieren durch

f (t)	= (t, 1) + e^{− i (t + π/2)} = (t, 1) − i e^−i t
	= (t, 1) − (sin(t), cos(t)) = (t − sin(t), 1 − cos(t)).

Dann gilt für alle t  ∈  [ 0, 2π ] (mit 1 − cos(t) = 2 sin²(t/2)):

∥ f ′(t) ∥ = $\sqrt{(1 - cos (t))^{2} + {sin}^{2} (t)}$

= $\sqrt{1 - 2 cos (t) + {cos}^{2} (t) + {sin}^{2} (t)}$

= $\sqrt{2 - 2 cos (t)}$ = $\sqrt{4 {sin}^{2} (t / 2)}$

= |2 sin(t/2)| = 2 sin(t/2),

sodass

L(f)	= ∫^2π₀ 2 sin(t/2) dt
	= − 4 ${cos (t / 2)\|}_{0}^{2 π}$ = 8

Die Länge der Zykloide ist eine natürliche Zahl, die an die Kreiszahl π, die bei der Erzeugung der Zykloide präsent ist, nicht mehr erinnert.

Die Zykloide spielt in der mathematischen Physik eine wichtige Rolle. Eine Pendeluhr hat eine inhärente Gangungenauigkeit, die auf den kleinen Unterschied zwischen x und sin(x) für kleine x zurückzuführen ist. Die Differenz zwischen x und sin(x) führt selbst bei Vernachlässigung aller Reibungen dazu, dass die Schwingungsdauer eines Fadenpendels von seinem Ausschlag abhängt. Wir werden in Kapitel 5 zeigen, dass die Schwingungsdauer unabhängig vom Ausschlag wird, wenn sich der Pendelfaden links und rechts an eine Zykloide anschmiegt. Das Pendel selbst schwingt dann ebenfalls auf einer Zykloide und nicht mehr auf einem Kreis. Diese Erkenntnis stammt von Christiaan Huygens, ein Astronom, Physiker und Uhrmacher des 17. Jahrhunderts.

Eine zweite Bedeutung kommt der Zykloide in einem Optimierungsproblem der Variationsrechnung zu. Ein Körper, der eine reibungsfreie Bahn herabgleitet, benötigt hierzu eine gewisse von der Form der Bahn abhängige Zeit. Wie muss man die Bahn gestalten, dass diese Zeit minimal wird ? Leibniz war bekannt, dass die Zykloide die Laufzeit minimiert.

Beispiel 5: Die Archimedische Spirale

Sei a > 0. Dann ist die Archimedische Spirale zum Parameter a die Funktion f : [ 0, ∞ [ → ℝ² mit

f (t) = a (t cos(t), t sin(t)) für alle t ≥ 0.

Für alle t liegt f (t) auf einem Kreis mit Radius at. Die Funktion f beschreibt also in der Zeit t eine Spiralbewegung gegen den Uhrzeigersinn mit linear wachsenden Radien. Für alle φ > 0 berechnet sich die Länge der Spirale bis zum Zeitpunkt φ mit Hilfe der Stammfunktion wie in Beispiel 3 für c = 1 als

L(f|[ 0, φ ]) = a ∫^φ₀ ∥ (cos(t) − t sin(t), sin(t) + t cos(t)) ∥ dt

= a ∫^φ₀ ${(cos (t)^{2} - 2 t cos (t) sin (t) + t^{2} sin (t)^{2} + sin (t)^{2} + 2 t sin (t) cos (t) + t^{2} cos (t)^{2})}^{1 / 2}$ dt

= a ∫^φ₀ $\sqrt{1 + t^{2}}$ dt = ^a₂(φ $\sqrt{1 + φ^{2}}$ + log(φ + $\sqrt{1 + φ^{2}}$ )).

Die Archimedische Spirale f_a(t) und ihre Länge L(f_a|[ 0, t ]) in der Zeit t  ∈  [ 0, 8 ] für a = 1 (erstes Diagramm) und t  ∈  [ 0, 100 ] für a = 1/100 (zweites Diagramm)

Beispiel 6: Der Umfang einer Ellipse

Für a ≥ b > 0 sei

E_{a, b} = { (x, y)  ∈  ℝ² | ${(\frac{x}{a})}^{2}$ + ${(\frac{y}{b})}^{2}$ = 1 }.

Die Ellipsenfläche ist abπ, in Erweiterung der Formel r²π = rrπ der Kreisfläche. Mit Blick auf den Kreisumfang (r + r)π würde man vielleicht (a + b)π für den Umfang der Ellipse vermuten. Dies ist jedoch falsch, da (a + b)π für b gegen 0 nicht gegen 4a strebt. Um eine korrekte Formel zu finden, parametrisieren wir (aus traditionellen Gründen) E_{a, b} durch die Kurve f : [ 0, 2π ] → ℝ² mit

f (t) = (a cos(π/2 − t), b sin(π/2 − t)) = (a sin(t), b cos(t)).

Dies entspricht einem Durchlaufen der Ellipse im Uhrzeigersinn mit Start bei (0, 1). Die Länge des durch φ  ∈  [ 0, 2π ] definierten Ellipsenbogens ist

L(f|[ 0, φ ]) = ∫^φ₀ ∥ f ′(t) ∥ dt = ∫^φ₀ $\sqrt{a^{2} cos (t)^{2} + b^{2} sin (t)^{2}}$ dt

= a ∫^φ₀ $\sqrt{1 - sin (t)^{2} + b^{2} / a^{2} sin (t)^{2}}$ dt = a ∫^φ₀ $\sqrt{1 - ε^{2} sin (t)^{2}}$ dt,

mit der numerischen Exzentrizität

ε = $\sqrt{1 - b^{2} / a^{2}}$ , sodass b²/a² = 1 − ε².

Das Integral hat für ε < 1 innerhalb der elementaren Funktionen keine Stammfunktion! Man muss eine neue Funktion einführen. Für ε  ∈  ] 0, 1 [ definieren wir das elliptische Integral zweiter Art in Legendre-Form durch

E(φ, ε) = ∫^φ₀ $\sqrt{1 - ε^{2} sin (t)^{2}}$ dt für alle φ  ∈  ℝ.

Dann gilt L(f|[ 0, φ ]) = a E(φ, ε) für φ  ∈  [ 0, 2π ], also L(f) = a E(2π, ε).

Die elliptischen Integral-Funktionen für einige ε. Für a = 1 und ε = 1/ $\sqrt{2}$ ist b = ε, sodass diese Exzentrizität ausgezeichnet ist. Der Umfang der Ellipse mit diesen Halbachsen ist

E(2π, ε) = 5,40257552…

während

(a + b)π = 5,36303412…

Zur numerischen Berechnung des Umfangs einer Ellipse E_a, b genügt es aus Symmetriegründen, die Länge der Ellipsenlinie im ersten Quadranten zu approximieren. Durch Vervierfachung ergeben sich Approximationen für den Umfang. Für die Berechnung verwenden wir

f (t) = (a sin(t), b cos(t)), (Parametrisierung)

g(t) = a $\sqrt{1 - ε^{2} sin (t)^{2}}$ , ε = $\sqrt{1 - b^{2} / a^{2}}$ .(Integrand der Längenformel)

Zwei verschiedene Methoden bieten sich an:

(1)	Berechnung von Polygon-Approximationen. Wir setzen für n ≥ 1: pol(n) = 4 ∑_k < n ∥ f(t_k + 1) − f (t_k) ∥ mit t_k = k π/(2n) Wir betrachten also die äquidistante Partition von [ 0, π/2 ] der Länge n und das Vierfache der zugehörigen Polygon-Approximation bzgl. f.

(2)	Berechnung von Riemann-Summen des Längen-Integrals. Wir setzen für n ≥ 1: riem(n) = 4 (π/(2n)) ∑_k < n g(x_k) mit x_k = (k + 1/2) π/(2n) Die Riemann-Summe ist äquidistant auf [ 0, π/2 ] mit Länge n und mittigen Stützstellen.

Es gilt L(f) = lim_n pol(n) = lim_n riem(n). Eine Computerberechnung liefert für die Halbachsen a = 2 und b = 1 den Ellipsenumfang

L(f) = 9,6884482205476761984285031963918294119539183978866…

und die gerundeten Werte der Abweichung der Approximationen:

Stützstellen n	pol(n) − L(f)	riem(n) − L(f)
10	−0,00995746	1,64573 · 10⁻¹¹
20	− 0,00248994	1,64921 · 10⁻²¹
30	− 0,00110669	2,56456 · 10⁻³¹
40	− 0,000622522	4,76794 · 10⁻⁴¹
50	− 0,000398417	9,77307 · 10⁻⁵¹
100	− 0,0000996051	6,68871 · 10⁻⁹⁹

Die Polygon-Approximationen sind nicht schlecht. Die Riemann-Summen sind astral.

Beispiel 7: Die Lemniskate von Jakob Bernoulli

Sei a > 0. Dann heißt die Kurve f : [ 0, 2π ] → ℝ² mit

f (t) = a s(t) (1, sin t) mit s(t) = ^{cos t}_{1 + sin² t} für alle t  ∈  [ 0, 2π ]

die Lemniskate (Schleife) zum Parameter a > 0. Ein (x, y)  ∈  ℝ² liegt genau dann auf der Lemniskate, wenn das Produkt der Abstände von (x, y) zu den Punkten (− p, 0) bzw. (p, 0) gleich p² ist, wobei p = a/ $\sqrt{2}$ . Damit gilt

Spur(f) = { (x, y)  ∈  ℝ² | (x² + y²)² = a² (x² − y²) }.

Lemniskaten zu den Parametern 1/2 (Innen), 1 (Mitte) und 3/2 (Außen)

Die Quotientenregel und trigonometrische Umformungen ergeben

(1 + sin²t)² f₁′(t) = a sint (sin²t − 3),

(1 + sin²t)² f₂′(t) = a (1 − 3sin²t),

(1 + sin²t)⁴ (f₁′(t)² + f₂′(t)²) = a² (1 + sin²t)³.

Folglich ist

L(f)	= 4 ∫^π/2₀ ∥ f ′(t) ∥ dt = 4 a ∫^π/2₀ $\frac{dt}{\sqrt{1 + {sin}^{2} t}}$
	= 4 a ∫¹₀ $\frac{du}{\sqrt{1 - u^{4}}}$ = 2 $\sqrt{2}$ a ∫^π/2₀ $\frac{dt}{\sqrt{1 - 1 / 2 {sin}^{2} t}}$ .

Wie im letzten Beispiel ist das Integral nicht mehr elementar. Integrale mit Integranden der Form (1 − ε²sin²t)^−1/2 heißen elliptische Integrale erster Art in Legendre-Form. Eine numerische Berechnung ergibt

L(f) = 2a · 2,622057554292119810464839589891119… =: 2 a ϖ.

Die von Gauß in Analogie zu 2aπ für den Umfang eines Kreises mit Radius a eingeführte Lemniskatische Konstante ϖ (gelesen Varpi) ist wie π transzendent.