Mehrdimensionale Funktionen und ihre Visualisierung

Wir betrachten Funktionen der Form f : P → ℝ^m mit P ⊆ ℝⁿ. Dabei sind die Dimensionen n und m positive natürliche Zahlen und die Räume ℝⁿ und ℝ^m mit der euklidischen Metrik ausgestattet. Wir kennen die Kombinationen

n = m = 1, (eindimensionale Analysis)

n = 1, m ≥ 1. (Kurven mit allgemeinen Definitionsbereichen)

Der Anschauung gut zugänglich ist

n = 2, m = 1. (dreidimensionale Höhenlandschaften)

Funktionen dieses Typs können wir visualisieren, indem wir eine dreidimensionale (oder genauer: dreidimensional wirkende) Skizze ihres Graphen erstellen. Dies ist per Hand oft nur schwer möglich. Mit Hilfe eines Computers lassen sich dagegen Höhlenlandschaften zeichnen, die aus verschiedenen Perspektiven betrachtet, eingefärbt und virtuell ausgeleuchtet werden können. Neben diesen 3D-Plots gibt es auch eine − manchmal sogar informativere − Visualisierung, die in der Ebene verbleibt: Zweidimensionale Landkarten mit Höhenlinien. Auch hierzu ist der Computer hilfreich, aber in einfachen Fällen lässt sich eine solche Karte auch noch per Hand erstellen. Allgemein definieren wir:

Definition (Niveaumengen und Höhenlinien)

Für f : P → ℝ, P ⊆ ℝⁿ, und c  ∈  ℝ heißt

niv_f(c) = f ⁻¹[ { c } ] = { p  ∈  P | f (p) = c }

die Niveaumenge oder für n = 2 auch die Höhenlinie von f für den Wert c.

Für n = 2 können wir eine Funktion f : P → ℝ durch Höhenliniendiagramme oder Kontur-Plots visualisieren, indem wir für einige Werte c die Mengen niv_f(c) bestimmen, in der Ebene einzeichnen und mit dem Wert c markieren. In vielen Fällen sind diese Mengen tatsächlich Linien. Die folgenden Diagramme zeigen 3D-Plots und Kontur-Plots einiger Funktionen.

f(x, y) = x²

f(x, y) = x² + y²

f(x, y) = x² − y²

f(x, y) = x y

f(x, y) = |x||y|

f(x, y) = sin(x) + cos(y)

f(x, y) = sin(x) cos(y)

f(x, y) = 2 arctan(xy)

f(x, y) = $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$

f(x, y) = (x y)⁻¹

xy ≠ 0

f(x, y) = y/x

x ≠ 0

f(x, y) = log(x² + y²)

(x, y) ≠ 0

Vektorfelder in der Ebene und im Raum

Besonders wichtig sind die Kombinationen

n = m = 2 bzw. n = m = 3.

Funktionen mit diesen Dimensionen nennt man auch zwei- bzw. dreidimensionale Vektorfelder. Wir können sie veranschaulichen, indem wir an jedes p  ∈  P den Vektor f (p) anheften. Für n = m = 3 kann zum Beispiel f (p) eine am Punkt p wirkende Kraft sein (vgl. auch die Kurvenintegrale zweiter Art im letzten Kapitel).

f(x, y) = (y, −x)

f(x, y) = (x, −y)

f(x, y) = − ^(x, y)_{∥ (x, y) ∥}

f(x, y) = (arctan(x), arctan(y))

In den Visualisierungen von f : ℝ² → ℝ² sind die Vektoren der Übersichtlichkeit halber skaliert. Zudem befindet sich die Mitte des Pfeils f(x, y) am Punkt (x, y), nicht der Anfang. Diagramme dreidimensionaler Vektorfelder finden sich in Kapitel 3. 5.