Das Differential als Funktion

Im Eindimensionalen hatten wir die punktweise gebildeten Ableitungen f ′(p) einer Funktion f : P → ℝ zu einer Funktion f ′ : P → ℝ zusammengefasst. Dies ist auch im Mehrdimensionalen möglich, und zwar auf prinzipiell verschiedene, wenn auch äquivalente Weisen. Bezeichnet ℝ^m × n den Vektorraum aller reellen (m × n)-Matrizen, so können wir J_f als Funktion der Form

J_f : P → ℝ^m × n

auffassen. Jedem p  ∈  P wird die Matrix J_f(p)  ∈  ℝ^m × n zugeordnet. Wir nennen die Funktion J_f die (totale oder matrixwertige) Ableitung von f und schreiben auch wieder f ′ anstelle von J_f. Analog können wir df als eine Funktion der Form

df : P → L(ℝⁿ, ℝ^m)

auffassen, wobei L(ℝⁿ, ℝ^m) den Vektorraum aller linearen Abbildungen von ℝⁿ nach ℝ^m bezeichnet. Jedem p  ∈  P wird die lineare Abbildung df (p)  ∈  L(ℝⁿ, ℝ^m) zugeordnet. Wir nennen df das Differential von f. Es gilt wieder

J_f(p) x = df (p)(x) für alle p  ∈  P und x  ∈  ℝⁿ,

weshalb oft J_f und df miteinander identifiziert werden. Sieht man J_f(p) lediglich als Darstellung oder Kode der „absoluten“ linearen Abbildung df (p) bzgl. einer bestimmten Basis an und interessiert man sich auch für andere Darstellungen, so dient die Unterscheidung zwischen J_f und df der Klarheit.

Die endlich-dimensionalen Vektorräume ℝ^m × n und L(ℝⁿ, ℝ^m) können zum Beispiel durch die Spektralnormen

∥ A ∥ = sup_{∥x∥ ≤ 1} ∥ A x ∥ bzw. ∥ g ∥ = sup_{∥x∥ ≤ 1} ∥ g(x) ∥

metrisiert werden, sodass die Stetigkeit von

J_f : P → ℝ^m × n bzw. df : P → L(ℝⁿ, ℝ^m)

erklärt ist. J_f ist genau dann stetig, wenn für alle gegen p konvergenten Folgen (p_n)_{n  ∈  ℕ} in P die Matrizen J_f(p_n) komponentenweise gegen J_f(p) konvergieren. Für alle p ist die Stetigkeit von J_f in p äquivalent zur Stetigkeit von df in p.

Definition (stetige Differenzierbarkeit)

Ein differenzierbares f : P → ℝ^m heißt stetig (total) differenzierbar in p  ∈  P, wenn J_f : P → ℝ^m × n stetig in p ist. Ist f stetig differenzierbar an allen Stellen p  ∈  P, so heißt f stetig (total) differenzierbar.

Im nächsten Kapitel werden wir ein handliches Kriterium für die stetige Differenzierbarkeit kennenlernen.

Das Differential df können wir noch etwas anders lesen. Wir definieren eine Abbildung Df : P × ℝⁿ → ℝ^m durch

Df(p, x) = df (p)(x) für alle p  ∈  P und x  ∈  ℝⁿ.

Die Stetigkeit von Df ist durch die euklidischen Normen auf P × ℝ^m und ℝⁿ erklärt. Die Funktion Df ist genau dann stetig, wenn df stetig ist.