Die Rotation

 Ein weiteres Beispiel für eine Operation auf einem Vektorfeld, die in der Physik untersucht wird, ist die Rotation.

Definition (Rotation, Wirbelfeld)

Sei g : P → ℝ3 ein differenzierbares dreidimensionales Vektorfeld. Dann setzen wir:

rot(g)  =  (∂2 g3 − ∂3 g2,  ∂3 g1 − ∂1 g3,  ∂1 g2 − ∂2 g1)  = 

(∂g3∂x2  −  ∂g2∂x3,  ∂g1∂x3  −  ∂g3∂x1,  ∂g2∂x1  −  ∂g1∂x2 ).

Das Vektorfeld rot(g) : P → ℝ3 heißt die Rotation oder das Wirbelfeld von g.

Gilt rot(g)(p) = 0, so heißt p ein wirbelfreier Punkt von g.

 Der Nabla-Operator kann für die Rotation besonders überzeugend eingesetzt werden. Unter Verwendung des Kreuzprodukts auf dem ℝ3 gilt:

rot(g)  =  ∇ × g  =  (∂1, ∂2, ∂3)  ×  g. (Nabla-Formulierung der Rotation)

 Während die Gradientenbildung einer skalaren Funktion ein Vektorfeld zuordnet und die Divergenz einem Vektorfeld eine skalare Funktion, ordnet die Rotation einem Vektorfeld ein neues Vektorfeld zu. Der Vektor rot(g)(p) lässt sich als „Wirbel“ des Vektorfeldes g im Punkt p interpretieren. Die Länge von g ist ein Maß für die Stärke der Rotation. Besitzt g an der Stelle p einen „Mahlstrom“ in einer Ebene, so steht rot(g)(p) senkrecht auf dieser Ebene.

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Das Vektorfeld

g : ℝ3 → ℝ3 mit

g(x, y, z)  =  (−y, x, 0),

das anschaulich einen Wirbel um die z-Achse beschreibt. Es gilt

rot(g)(x, y, z)  =  (0, 0, 2)

für alle (x, y, z)  ∈  ℝ3.

 Ein Begriff einer „rotationsharmonischen Funktion“ muss nicht eingeführt werden, denn die Anwendung der Rotation auf dreidimensionales Gradientenfeld liefert immer das Nullfeld:

Satz (Wirbelfreiheit eines Gradientenfeldes)

Sei f : P → ℝ, P ⊆ ℝ3, zweimal stetig differenzierbar. Dann gilt:

rot(grad(f))  =  0,  d. h.  ∇ × ∇ f  =  0.

 Ebenso gilt:

Satz (Quellfreiheit eines Rotationsfeldes)

Sei g : P → ℝ3, P ⊆ ℝ3, zweimal stetig differenzierbar. Dann gilt:

div(rot(g))  =  0,  d. h.  〈 ∇, ∇ × g 〉  =  0.

 Die Beweise dieser Sätze können dem Leser überlassen bleiben.