Schmiegequadriken
Ist eine Funktion f : P → ℝ zweimal stetig differenzierbar, so gilt also
T2pf (x) = f (p) + 〈 grad(f)(p), x − p 〉 + 12 〈 x − p, Hf(p) (x − p) 〉.
(Taylor-Polynom zweiter Ordnung)
Der Graph des Taylor-Polynoms T2p f ist in der Sprache der analytischen Geometrie eine Quadrik im ℝn + 1, die sog. Schmiegequadrik an f im Punkt (p, f (p)). Für n = 1 ist eine Schmiegequadrik eine Schmiegeparabel und durch f ′(p) und f ″(p) bestimmt. Für n = 2 müssen die fünf partiellen Ableitungen ∂1f (p), ∂2f (p), ∂21f (p), ∂22f (p) und ∂1∂2f (p) berechnet werden, aber die Situation bleibt dennoch übersichtlich. Ein Klassifikationssatz der analytischen Geometrie besagt nämlich, dass die Schmiegequadrik an f für n = 2 und Hf(p) ≠ 0 im Punkt (p, f (p)) bis auf eine affine Transformation von einem der drei folgenden Typen ist:
| elliptisches Paraboloid | z = a x2 + b y2, mit a b > 0 | |
| hyperbolisches Paraboloid | z = a x2 + b y2, mit a b < 0 | |
| parabolischer Zylinder | z = a x2 + b y2, mit a b = 0 |
Elliptische Paraboloide sehen aus wie Eierbecher, hyperbolische Paraboloide wie Sattelflächen, parabolische Zylinder wie gebogene Papierblätter oder Dachrinnen.
elliptisches Paraboloid
hyperbolisches Paraboloid
parabolischer Zylinder
Die folgenden Diagramme zeigen Schmiegequadriken für einige f und p.
f(x, y) = cos(x) + cos(y), p = (0, 0)
f(x, y) = x3y + x y3, p = (0, 0)
f(x, y) = log(x2 + y2), p = (0, −1)
f(x, y) = arctan(x y), p = (1, 0)