Lokale Extremwerte

Auch für mehrdimensionale Funktionen f : P → ℝ, P ⊆ ℝⁿ, lässt sich eine Kurvendiskussion betreiben. Eine Hauptaufgabe ist dabei wieder das Auffinden lokaler Extremwerte. Die entsprechenden Begriffe werden wie im eindimensionalen Fall definiert.

Da grad(f)(p) in die Richtung des stärksten Anstiegs und −grad(f)(p) in die Richtung des stärksten Abfalls von f bei p zeigt, gilt:

Satz (notwendige Bedingung für lokale Extrema)

Sei f : P → ℝ partiell differenzierbar, und sei p  ∈  P eine lokale Extremalstelle von f. Dann gilt grad(f)(p) = 0.

Beweis

Ist w  ∈  ℝⁿ, ∥ w ∥ = 1, so besitzt h_w : ] − ε, ε [ → ℝ mit h_w(t) = f(p + t w) eine lokale Extremalstelle im Punkt 0, wobei ε hinreichend klein gewählt wird. Also gilt nach dem notwendigen eindimensionalen Kriterium

0 = h_w′(0) = 〈 grad(f)(p), w 〉 für alle w  ∈  ℝⁿ mit ∥ w ∥ = 1.

Hieraus folgt grad(f)(p) = 0.

Der Satz verallgemeinert die notwendige Bedingung „f ′(p) = 0“ (kritischer Punkt), die bereits im Eindimensionalen nicht hinreichend ist. Die Hesse-Matrix liefert, wie die zweite Ableitung für n = 1, ein hinreichendes Kriterium. Von Bedeutung sind hier die folgenden Begriffsbildungen der Linearen Algebra:

Definition (Definitheit einer Matrix)

Eine reelle (n × n)-Matrix A heißt

(a)	positiv definit, falls 〈 x, A x 〉 > 0 für alle x  ∈  ℝⁿ mit x ≠ 0, positiv semidefinit, falls 〈 x, A x 〉 ≥ 0 für alle x  ∈  ℝⁿ,

(b)	negativ (semi-)definit, falls − A positiv (semi-)definit ist,

(c)	indefinit, falls es x, y  ∈  ℝⁿ gibt mit 〈 x, A x 〉 > 0 und 〈 y, A y 〉 < 0.

Ist S^n − 1 = { x  ∈  ℝⁿ | ∥ x ∥ = 1 }, so nimmt die stetige Funktion 〈 ·, A · 〉 : ℝⁿ → ℝ aufgrund der Kompaktheit von S^n − 1 ihr Minimum c und ihr Maximum d auf S^n − 1 an. Für alle x  ∈  ℝⁿ gilt dann, mit x̂ = x/∥ x ∥ für x ≠ 0 und x̂ = 0 für x = 0:

〈 x, A x 〉 = ∥ x ∥² 〈 x̂, A x̂ 〉 ≥ c ∥ x ∥² und analog

〈 x, A x 〉 ≤ d ∥ x ∥².

Folglich gelten die Entsprechungen:

A positiv definit : c > 0,		A positiv semidefinit : c ≥ 0,
A negativ definit : d < 0,		A negativ semidefinit : d ≤ 0,
	A indefinit : c < 0 und d > 0.

Mit Hilfe der Taylor-Entwicklung zweiter Ordnung können wir nun den folgenden ansprechenden Satz beweisen:

Satz (hinreichende Bedingung für lokale Extrema, Definitheit der Hesse-Matrix)

Sei f : P → ℝ zweimal stetig differenzierbar, und sei p  ∈  P mit grad(f)(p) = 0.

Dann gilt:

(a)	Ist H_f(p) positiv definit, so ist p eine strikte lokale Minimalstelle.

(b)	Ist H_f(p) negativ definit, so ist p eine strikte lokale Maximalstelle.

(c)	Ist H_f(p) indefinit, so ist p keine lokale Extremalstelle.

Beweis

Durch Übergang zu f(x + p) − f (p) können wir p = 0 und f (0) = 0 annehmen (zur Vereinfachung der Notation). Dann gilt für A = H_f(0):

f (x) = ¹₂ 〈 x, A x 〉 + r(x), lim_x → 0 ^r(x)_{∥ x ∥²} = 0.

Seien c, d  ∈  ℝ wie oben, sodass für alle x  ∈  ℝⁿ gilt:

〈 x, A x 〉 ≥ c ∥ x ∥², 〈 x, A x 〉 ≤ d ∥ x ∥².

Sei nun δ > 0, sodass für alle x mit ∥ x ∥ < δ, x ≠ 0, gilt:

|r(x)| < ^{min(|c|, |d|)}₂ ∥ x ∥².

Dann gilt für alle x ≠ 0 mit ∥ x ∥ < δ:

f (x) ≥ ^c₂ ∥ x ∥² + r(x) > 0,	falls c > 0, d. h. A positiv definit,
f (x) ≤ ^d₂ ∥ x ∥² + r(x) < 0,	falls d < 0, d. h. A negativ definit.

Dies zeigt (a) und (b). Für (c) seien x_c, x_d  ∈  ℝⁿ mit ∥ x_c ∥ = ∥ x_d ∥ = 1 und 〈 x_c, A x_c 〉 = c < 0 und 〈 x_d, A x_d 〉 = d > 0. Dann gilt für alle t  ∈  ] 0, δ [

f (t x_c) = ^t² c₂ + r(t x_c) < 0, f (t x_d) = ^t² d₂ + r(t x_d) > 0.

Also ist 0 keine lokale Extremalstelle von f.

Dem eindimensionalen Krümmungsverhalten „f ″(p) > 0“ und „f ″(p) < 0“ entspricht im Mehrdimensionalen also die positive bzw. negative Definitheit der Hesse-Matrix von f im Punkt p. Die Aussage (c) des Satzes hat im Eindimensionalen kein Analogon.

Ist die Hesse-Matrix in einem Punkt p nur semidefinit, so ist keine allgemeine Aussage möglich. Im Eindimensionalen entspricht dies dem Fall „f ″(p) = 0“. Die dritte und vierte Potenz zeigen, dass in diesem Fall p dann eine lokale Extremalstelle sein kann oder auch nicht. Mehrdimensionale Beispiele besprechen wir in den Übungen.

Wir diskutieren noch einige Kriterien, die nützlich sind, die Definitheit einer Matrix zu bestimmen. Da eine Hesse-Matrix symmetrisch ist, besitzt sie reelle Eigenwerte. (Allgemein entspricht die Definitheit einer reellen Matrix A der Definitheit der symmetrischen Matrix A + A^t, sodass man sich prinzipiell auf symmetrische Matrizen beschränken kann.) Es gilt:

Satz (Eigenwertkriterium)

Sei A eine symmetrische reelle (n × n)-Matrix, und seien λ₁ ≤ … ≤ λ_n die Eigenwerte von A. Dann gilt:

A ist positiv definit	genau dann, wenn	λ₁ > 0,
A ist positiv semidefinit	genau dann, wenn	λ₁ ≥ 0,
A ist negativ definit	genau dann, wenn	λ_n < 0,
A ist negativ semidefinit	genau dann, wenn	λ_n ≤ 0,
A ist indefinit	genau dann, wenn	λ₁ < 0 und λ_n > 0.

Beweis

Sei (b₁, …, b_n) eine Orthonormalbasis des ℝⁿ mit A b_k = λ_k b_k für alle k. Dann gilt für alle x = ∑_{1 ≤ k ≤ n} α_k b_k, dass

〈 x, A x 〉 = ∑_{1 ≤ k, j ≤ n} α_j α_k λ_k 〈 b_j, b_k 〉 = ∑_{1 ≤ k ≤ n} α²_k λ_k.

Hieraus liest man Äquivalenzen ab.

Damit ist die Diagonalisierung der Hesse-Matrix eine Möglichkeit, ihre Definitheit zu bestimmen. Nützlich ist daneben oft auch der folgende Satz, den wir ohne Beweis angeben:

Satz (Determinantenkriterium)

Sei A eine symmetrische reelle (n × n)-Matrix. Dann sind äquivalent:

(a)	A ist positiv definit.

(b)	Für alle 1 ≤ k ≤ n ist der k-te Hauptminor von A positiv, d. h., die Determinante der quadratischen Untermatrix A_k = (a_i j)_{1 ≤ i, j ≤ k} von A ist positiv.

Ist also a₁₁ < 0, so ist A nicht positiv definit, und ist a₁₁ > 0, so ist A nicht negativ definit. Wegen det(− A) = (−1)ⁿ det(A) folgt aus dem Kriterium, dass A genau dann negativ definit ist, wenn die Hauptminoren det(A₁), …, det(A_n) abwechselnd negativ und positiv sind.

Ein analoges Kriterium für Semidefinitheit gilt im Allgemeinen nicht.

Beispiele

(1)

Sei f : ℝ² → ℝ mit f(x, y) = cos(x) + cos(y) für alle (x, y)  ∈  ℝ².

Für alle p = (x, y)  ∈  ℝ² gilt

grad(f)(p) = (−sin(x), −sin(y)),

H_f(p) = − $( \begin{matrix} cos (x) & 0 \\ 0 & cos (y) \end{matrix} )$ .

Die Nullstellen des Gradienten sind genau die Punkte

p_{a, b} = (aπ, bπ) für a, b  ∈  ℤ.

Mit Hilfe der Hesse-Matrix können wir die Extremalstellen aus diesen Kandidaten aussondern: Sind a und b beide gerade, so ist H_f(p) = −E negativ definit und damit p_{a, b} eine strikte lokale Maximalstelle von f. Sind a und b beide ungerade, so ist H_f(p) = E positiv definit und damit p_{a, b} eine strikte lokale Minimalstelle von f. Haben a und b verschiedene Parität, so ist H_f(p) indefinit und damit p_{a, b} keine lokale Extremalstelle von f.

(2)

Allgemeiner gilt: Ist f : ℝⁿ → ℝ von der additiven Form

f(x₁, …, x_n) = g₁(x₁) + … + g_n(x_n)

mit Funktionen g_j : ℝ → ℝ, so ist die Hesse-Matrix H_f(p) für alle p eine aus den zweiten Ableitungen der Funktionen g_j gebildete Diagonalmatrix. Ein Punkt p mit g_j′(p) = 0 für alle j ist eine lokale Maximalstelle, wenn alle g_j konkav in p sind. Analoges gilt für Minimalstellen mit konvex statt konkav. Ist in H_f(p) ein Diagonaleintrag gleich 0, so ist keine allgemeine Aussage möglich.

(3)

Die Hesse-Matrix ist nicht immer die beste Wahl, um lokale Extremalstellen zu ermitteln. Ist f : ℝ² → ℝ mit f(x, y) = arctan(xy), so gilt grad(f)(p) = 0 nur für p = 0. Der Hesse-Matrix-Weg ist nun aber mühsamer als ein „eindimensionales“ Argument: Seien g₁, g₂ : ℝ → ℝ mit g₁(x) = f(x, x) = arctan(x²) und g₂(x) = f(x, − x) = arctan(− x²). Man rechnet nach, dass g₁″(0) = 2, sodass g₁ in 0 ein striktes lokales Minimum besitzt. Dann hat aber g₂ = − g₁ in 0 ein lokales Maximum, sodass 0 keine lokale Extremalstelle von f sein kann.