Tangentialräume

Im Beweis der Multiplikatorregel haben wir benutzt, dass die Ebene die Dimension 2 besitzt: Zwei Vektoren, die senkrecht auf einem Vektor v ≠ 0 stehen, liegen in der Ebene auf einer Geraden, im ℝ³ ist das nicht immer richtig. Zudem haben wir die Parametrisierbarkeit von N in der Nähe von p vorausgesetzt. Das Ergebnis lässt sich aber auf höhere Dimensionen verallgemeinern, und die Voraussetzung gilt automatisch. Hierzu definieren wir:

Definition (Tangentialraum)

Sei N ⊆ ℝⁿ beliebig, und sei p  ∈  N. Dann heißt

T_p N = { h′(0) | h : ] − ε, ε [ → N ist stetig differenzierbar mit h(0) = p }

der Tangentialraum von N im Punkt p.

Der Tangentialraum T_p N ⊆ ℝⁿ besteht aus allen Tangential- oder Geschwindigkeitsvektoren von stetig differenzierbaren Kurven im Punkt p, die ganz in in der Menge N verlaufen und p besuchen. Es ist leicht nachzuweisen, dass T_p N ein Unterraum des ℝⁿ ist, sodass die Bezeichnung als „Raum“ gerechtfertigt ist. Für Niveaumengen gilt das unabhängig von Lagrange-Multiplikatoren bedeutsame Ergebnis:

Satz (Gradientendarstellung des Tangentialraums für Niveaumengen)

Seien g : P → ℝ stetig differenzierbar, N = niv_g(c) für ein c und p  ∈  N mit grad(g)(p) ≠ 0. Dann gilt

T_p N = { x  ∈  ℝⁿ | J_g(p) x = 0 } = { x | 〈 grad(g)(p), x 〉 = 0 }.

Beweis

Ist x  ∈  T_pN und h : ] − ε, ε [ → N mit h(0) = p und h′(0) = x, so ist g ∘ h konstant gleich c und damit

J_g(p) x = J_g(h(0)) h′(0) = (g ∘ h)′(0) = 0.

Sei nun x*  ∈  ℝⁿ mit J_g(p) x* = 0. Wir konstruieren eine stetig differenzierbare Kurve h* in N, die p zur Zeit 0 mit dem Tangentialvektor x* = h*′(0) besucht. Sei hierzu w = ∥ grad(g)(p) ∥. Durch Übergang zu g/w können wir ohne Einschränkung annehmen, dass w = 1 (die Menge aller x mit J_g(p) x = 0 bleibt durch diesen Übergang gleich).

Sei b_n = grad(g)(p), und seien b₁, …, b_n − 1  ∈  ℝⁿ derart, dass b₁, …, b_n eine Orthonormalbasis des ℝⁿ bilden. Wir definieren nun φ : P → ℝⁿ durch

φ(x) = (〈 b₁, (x − p) 〉, …, 〈 b_n − 1, (x − p) 〉, g(x) − c) für alle x  ∈  P.

Dann gilt φ(p) = 0 und für alle x  ∈  P ist die letzte Komponente von φ(x) genau dann 0, wenn x  ∈  N. Die Vektoren b₁, …, b_n sind die Zeilenvektoren von J_φ(p), und damit ist J_φ(p) invertierbar. Also existiert eine offene Umgebung U ⊆ P von p, sodass für V = φ[ U ] gilt:

(a)	φ : U → V ist bijektiv und V ist offen,

(b)	φ⁻¹ : V → U ist stetig differenzierbar,

(c)	J_φ⁻¹(0) = J_φ(p)⁻¹.

Sei x* = ∑_{1 ≤ k ≤ n} α_kb_k. Dann gilt α_n = 0 wegen 〈 b_n, x* 〉 = 0. Wir definieren h : ] − ε, ε [ → V für ein hinreichend kleines ε > 0 durch

h(t) = (tα₁, …, tα_n)  = (tα₁, …, tα_n − 1, 0) für alle t.

Dann gilt h(0) = 0 und h′(t) = (α₁, …, α_n − 1, 0) für alle t. Damit gilt für die stetig differenzierbare Kurve h* = φ⁻¹ ∘ h : ] − ε, ε [ → P:

(1)	h*(0) = p,

(2)	h*(t)   ∈   N für alle t,

(3)	h′(0) = J_φ⁻¹(0) h′(0) = J_φ(p)⁻¹ (α₁, …, α_n − 1, 0) = x.

Dabei folgt (1) aus φ(p) = h(0), (2) aus α_n = 0 und schließlich (3) aus

J_φ(p)x* = (α₁, …, α_n).

Der Tangentialraum T_p N einer Niveaumenge N = niv_g(c) ist also der (n − 1)-dimensionale Vektorraum aller Vektoren, die senkrecht auf dem Gradienten von g im Punkt p stehen. In der Sprache der Linearen Algebra kann man dies auch so ausdrücken: T_p N ist der Kern der linearen Abbildung dg(p) : ℝⁿ → ℝ.

Nun können wir leicht zeigen:

Satz (Multiplikatorregel von Lagrange, allgemeine Version)

Seien f, g : P → ℝ, P ⊆ ℝⁿ, stetig differenzierbar, c  ∈  ℝ, N = niv_g(c) und p  ∈  N derart, dass grad(g)(p) ≠ 0 und f|N eine lokale Extremalstelle in p besitzt. Dann existiert ein λ mit grad(f)(p) + λ grad(g)(p) = 0.

Beweis

Sei x  ∈  T_pN. Sei h : ] − ε, ε [ → N mit h(0) = p und h′(0) = x. Wie im Spezialfall oben gilt (f ∘ h)′(p) = 0 und g ∘ h = c, sodass

〈 grad(f)(p), x 〉 = 0 = 〈 grad(g)(p), x 〉.

Da T_pN ein (n − 1)-dimensionaler Vektorraum ist, ist dies nur dann möglich, wenn grad(f)(p) ein skalares Vielfaches von grad(g)(p) ist.

Ohne Beweis geben wir noch ein hinreichendes Kriterium an:

Satz (hinreichendes Kriterium für bedingte Extremalstellen)

Seien g, f, N wie oben, und seien p  ∈  N und λ derart, dass

grad(f + λ g)(p) = 0.

Die Hesse-Matrix

H = H_f + λ g(p) = H_f(p) + λ H_g(p)

sei positiv definit auf T_p N, d. h., für alle x ≠ 0 mit 〈 x, grad(g)(p) 〉 = 0 gilt 〈 x, H x 〉 > 0. Dann ist p eine strikte lokale Minimalstelle von f|N. Analog ist p eine strikte lokale Maximalstelle von f|N, wenn H negativ definit auf T_pN ist.

Beispiel

Im obigen Beispiel gilt für p = (w, w) und λ = −1/2:

H = H_f(p) + λ H_g(p) = $( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} )$ − ¹₂ $( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} - 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix} )$ .

Für alle (x, y)  ∈  ℝ² gilt 〈 (x, y), H (x, y) 〉 = − (x − y)², und dies ist kleiner als 0 für alle von 0 verschiedenen Elemente von

T_pN = { (x, y)  ∈  ℝ² | 〈 (x, y), 2 (w, w) 〉 = 0 } = { (x, − x) | x  ∈  ℝ }.

Also ist (w, w) eine strikte lokale Maximalstelle von f. Analog können die drei anderen Kandidaten als strikte lokale Extremalstellen erkannt werden.