Trigonometrische Reihen

Im 19. Jahrhundert wurde, angeregt vor allem durch Joseph Fourier, eine Theorie entwickelt, deren Ziel es ist, eine Funktion f mit der Periode 2π als unendliche Überlagerung der „Elementarschwingungen“ 1, cos(x), sin(x), cos(2x), sin(2x), … darzustellen. Aufgabe ist, gegeben f, das Auffinden von Koeffizienten a_k und b_k, sodass

f (x) ∼ a₀ + ∑_k ≥ 1 (a_k cos(k x) + b_k sin(k x)) für alle x  ∈  ℝ,

wobei geeignete Präzisierungen von „∼“ anzugeben sind, wenn der Idealfall der punktweisen Konvergenz der Reihe auf der rechten Seite gegen f nicht zu erreichen ist. Das Auffinden der Koeffizienten und die Analyse des Konvergenzverhaltens ist, wie sich zeigt, eine Aufgabe der Integrationstheorie.

Fourier-Reihen sind in mehrfacher Hinsicht bedeutsam. Zu den vielfältigen Anwendungen in den Naturwissenschaften und der Technik kommt eine umfassende historische Dimension. Die Untersuchung der Konvergenzfragen, die diese Reihen aufwerfen, spielte eine wesentliche Rolle in der Präzisierung der Analysis und der Entwicklung der modernen Mathematik.

Wir beginnen mit einigen Begriffen für periodische Funktionen.

Definition (periodische Funktion, Periode, Minimalperiode)

Eine Funktion f auf ℝ (mit Werten in einer beliebigen Menge) heißt periodisch mit der Periode p > 0, falls gilt:

(+) f (x) = f(x + p) für alle x  ∈  ℝ.

Gilt (+) für kein p′  ∈  ] 0, p [, so heißt p die Minimalperiode von f.

Die Zahl 2π ist die Minimalperiode der reellwertigen Sinus- und Kosinusfunktion und der komplexwertigen Funktion e^i x. Weiter ist 2π auch eine Periode der schneller oszillierenden Funktionen sin(k x) und cos(k x) und der Funktionen e^i k x für alle k  ∈  ℤ. Diese Funktionen werden im Folgenden im Mittelpunkt stehen. Wir wollen eine gegebene Funktion f mit der Periode 2π so in Bestandteile der Form a_kcos(kx) und b_ksin(kx) zerlegen, wie wir sie früher in Bestandteile der Form a_kx^k zerlegen wollten, um sie als Potenzreihe darzustellen. Die Konzentration auf die Periode 2π ist dabei keine Einschränkung, denn hat eine Funktion g : ℝ → ℝ die Periode p, so hat die Funktion f : ℝ → ℝ mit

f (x) = g(^p x_2π) für alle x

die Periode 2π, da für alle x gilt:

f(x + 2π) = g(^{p x + p 2π}_2π) = g(^px_2π + p) = g(^px_2π) = f (x).

Eine Analyse der Funktion f mit Hilfe von Sinus- und Kosinusfunktionen der Form sin(k x) und cos(k x) liefert dann durch die Rücktransformation

g(x) = f(^2πx_p) für alle x

eine Analyse von g mit Sinus- und Kosinusfunktionen der Form sin(kx2π/p) und cos(kx2π/p).

Endliche Linearkombinationen unserer Funktionen cos(k x) und sin(k x) sind als trigonometrische Polynome bekannt, wobei die Frequenz k die Rolle des Exponenten übernimmt:

Definition (trigonometrisches Polynom)

Sind a₀, …, a_n, b₁, …, b_n reelle Zahlen mit a_n ≠ 0 oder b_n ≠ 0, so heißt

^a₀₂ + ∑_{1 ≤ k ≤ n} (a_k cos(kx) + b_k sin(kx))

das (reelle) trigonometrische Polynom vom Grad n mit den Koeffizienten a₀, …, a_n und b₁, …, b_n.

f (x) = ¹₂ sin(x) + ²₃ cos(2x) + ²₅ sin(2x) + ¹₂ cos(4x)

Weiter definieren wir:

Definition (trigonometrische Reihe)

Sind (a_k)_k ≥ 0 und (b_k)_k ≥ 1 Folgen reeller Zahlen, so heißt

^a₀₂ + ∑_k ≥ 1 (a_k cos(kx) + b_k sin(kx))

die trigonometrische Reihe mit den Koeffizienten (a_k)_k ≥ 0 und (b_k)_k ≥ 1.

Ein trigonometrisches Polynom lässt sich als trigonometrische Reihe ansehen, bei der die Koeffizienten a_k und b_k schließlich Null sind. Umgekehrt sind die trigonometrischen Polynome die Partialsummen der trigonometrischen Reihen.

Alle trigonometrischen Polynome haben die Periode 2π. Konvergiert also eine trigonometrische Reihe auf einem Intervall der Form [ a, a + 2π [, so konvergiert sie auf ganz ℝ gegen eine Funktion der Periode 2π.

Betrachtet man die Definitionen, so fällt auf, dass ein Koeffizient b₀ fehlt und dass der Koeffizient a₀ halbiert erscheint. Hierzu beobachten wir, dass

a cos(0 x) + b sin(0 x) = a cos(0) + 0 = a für alle a, b  ∈  ℝ.

Damit kann der 0-Anteil als Konstante ausgelagert werden. Ein Koeffizient b₀ spielt keine Rolle und wird aus Eindeutigkeitsgründen besser ganz vermieden. Dass nun weiter der 0-Anteil in der Form a₀/2 und nicht in der Form a₀ angegeben wird, hat Gründe, die erst durch die Berechnungsformeln für a_k und b_k ans Licht kommen werden.

Unsere erste Frage ist nun:

Wie bestimmt man a_k und b_k, wenn man weiß,

dass f eine trigonometrische Reihe ist ?

Für Potenzreihen f = ∑_k a_k(x − p)^k hatten wir eine Antwort auf die entsprechende Frage durch gliedweises Differenzieren gefunden hatten. Hier galt

a_k = f ^(k)(p)/k! für alle k.

Während für Potenzreihen die Differentiation und damit die lokale Analyse der Funktion f im Punkt p herangezogen wurde, lassen sich die „verlorenen“ Koeffizienten einer trigonometrischen Reihe bei guten Konvergenzbedingungen durch Integrieren wiederfinden:

Satz (Berechnung der trigonometrischen Koeffizienten)

Sei a₀/2 + ∑_k ≥ 1 (a_kcos(k x) + b_ksin(k x)) eine trigonometrische Reihe, die gleichmäßig gegen f : ℝ → ℝ konvergiert. Dann gilt:

a_k = ¹_π ∫^2π₀f (x) cos(kx) dx für alle k ≥ 0,

b_k = ¹_π ∫^2π₀f (x) sin(kx) dx für alle k ≥ 1.

Der Beweis dieser magischen Formeln lässt sich einfacher führen und besser verstehen, wenn wir einige Elemente auslagern. Hierzu führen wir zuerst eine auch andernorts nützliche 0-1-Symbolik ein:

Definition (Kronecker-Symbol)

Für alle Objekte x, y wird das Kronecker-Symbol δ_{x, y} definiert durch:

$δ_{x, y} = { \begin{matrix} 1 & falls x = y, \\ 0 & falls x \neq y. \end{matrix}$

Dem Leser können wir überlassen:

Satz (Orthogonalität von cos(kx), sin(kx))

Für alle k,n  ∈  ℕ gilt:

(a)	∫^2π₀cos(0x) cos(0x) dx = 2π, ∫^2π₀sin(0x) sin(0x) dx = 0,

(b)	∫^2π₀cos(kx) cos(nx) dx = ∫^2π₀sin(kx) sin(nx) dx = δ_{k, n} · π, falls n ≠ 0 oder k ≠ 0,

(c)	∫^2π₀cos(kx) sin(nx) dx = 0.

sin(3x) sin(3x)

sin(3x) sin(7x)

sin(3x) cos(7x)

Für n = 0 in (b) und k = 0 in (c) erhalten wir speziell

∫^2π₀cos(kx) dx = 0 für alle k ≥ 1, ∫^2π₀sin(kx) dx = 0 für alle k ≥ 0,

was man natürlich auch leicht mit Hilfe von Stammfunktionen zeigen kann.

Die hier und im Folgenden verwendete Bezeichnung als „Orthogonalität“ werden wir später mit Hilfe eines Skalarprodukts für Funktionen motivieren.

Nach diesen Vorbereitungen können wir nun den Berechnungssatz beweisen.

Beweis des Berechnungssatzes

Sei also, bei gleichmäßiger Konvergenz,

f (x) = ^a₀₂ + ∑_k ≥ 1 (a_k cos(kx) + b_k sin(kx)) für alle x.

Sei n  ∈  ℕ. Dann gilt für alle x:

f (x) cos(nx) = ^a₀₂ cos(nx) + ∑_k ≥ 1 (a_k cos(kx) cos(nx) + b_k sin(kx)cos(nx)),

und die Konvergenz der Reihe auf der rechten Seite ist immer noch gleichmäßig. Gliedweises Integrieren liefert

∫^2π₀f (x) cos(nx) dx = ∫^2π₀^a₀₂ cos(nx) dx + ∑_k ≥ 1(∫^2π₀a_k cos(kx) cos(nx) dx + ∫^2π₀b_k sin(kx) cos(nx) dx).

Nach Orthogonalität ist die rechte Seite gleich

∫^2π₀^a₀₂ cos(0) dx = a₀ π, falls n = 0,

und gleich

∫^2π₀a_n cos(nx) cos(nx) dx = a_n π, falls n > 0.

Die Aussage über die Sinus-Koeffizienten wird analog bewiesen.

Aus dem Satz folgt unmittelbar:

Korollar (Eindeutigkeitssatz)

Die Koeffizienten einer gleichmäßig konvergenten trigonometrischen Reihe sind eindeutig bestimmt: Konvergieren trigonometrische Reihen

^a₀₂ + ∑_k ≥ 1 (a_k cos(k x) + b_k sin(k x)) und

^c₀₂ + ∑_k ≥ 1 (c_k cos(k x) + d_k sin(k x))

gleichmäßig gegen f : ℝ → ℝ, so gilt a_k = c_k und b_k = d_k für alle k.