Ausblick: Die Fourier-Transformation

Wir haben bislang nur periodische Funktionen untersucht. Eine natürliche Frage ist, ob sich auch eine beliebige Funktion f : ℝ → ℝ in Elementarschwingungen zerlegen lässt. Dies ist für viele Funktionen möglich, wenn wir die Frequenzen der Schwingungen nicht mehr diskret, sondern kontinuierlich wählen, also statt e^ikx, k  ∈  ℤ, allgemeiner e^ikx, k  ∈  ℝ, zur Zerlegung der Funktion verwenden und die Summe einer Fourier-Reihe durch ein uneigentliches Integral ersetzen. Wir definieren:

Definition (Fourier-Transformation)

Sei f : ℝ → ℂ eine Funktion mit I(|f|) < ∞, d. h. |f| ist uneigentlich integrierbar mit endlichem Integral. Dann setzen wir für alle k  ∈  ℝ

ℱ(f)(k) = ^{^}f(k) = ¹_2π ∫^∞_−∞f (x) e^−ikx dx.

Die Funktion ^{^}f : ℝ → ℂ heißt die Fourier-Transformierte von f.

Die Definition der Fourier-Transformierten ist ein kontinuierliches Analogon der Definition der Fourier-Koeffizienten. Um den Zusammenhang zwischen f und ^{^}f zu ergründen, betrachten wir ein (groß gedachtes) p > 0 und definieren für alle k  ∈  ℤ

(+) c_k = ¹_2π ∫^π_−πf(^px_π) e^−ikx dx = ¹_2p ∫^p;_−p;f (x) e^{−ikx π/p} dx.

Die komplexen Zahlen c_k sind die Fourier-Koeffizienten der 2π-periodischen Funktion g : ℝ → ℝ mit

g(x) = f(^px_π) für alle x  ∈  [ − π, π ].

Die Funktion g entsteht durch Einschränkung von f auf [ − p, p ], horizontale Stauchung dieser Einschränkung auf [ − π, π ] und periodische Fortsetzung. Im wesentlichen unternehmen wir also eine diskrete Fourier-Analyse von f|[ − p, p ]. Da f integrierbar ist, konvergiert die Fourier-Reihe von g im quadratischen Mittel gegen g. Wir nehmen im Folgenden an, dass dies sogar punktweise der Fall ist. Dann gilt

∑_k c_k e^ikx = g(x) = f(^px_π) für alle x  ∈  [ − π, π ]

und damit

(++) ∑_k c_k e^{ikx π/p} = f (x) für alle x  ∈  [ − p, p ].

Definieren wir nun

^{^}f_p(k) = ¹_2π ∫^p;_−p;f (x) e^−ikx dx für alle k  ∈  ℝ,

so gilt nach (+)

c_k = ^π_p ^{^}f_p(^πk_p) für alle k  ∈  ℤ.

Damit erhalten wir nach (++), dass

(#) ∑_k^π_p ^{^}f_p(^πk_p) e^ikxπ/p = f (x) für alle x  ∈  [ − p, p ].

Die linke Seite von (#) hat für jedes x  ∈  [ − p, p ] die Form einer „uneigentlichen“, sich über ganz ℝ erstreckenden Riemann-Summe der Funktion h mit

h(u) = ^{^}f_p(u) e^iux für alle u  ∈  ℝ

bezüglich einer Partition von ℝ der Feinheit π/p mit unendlich vielen Stützstellen πk/p, k  ∈  ℤ. Beschränken wir k auf Werte in { − n, …, n }, so erhalten wir eine echte Riemann-Summe, aber die Übereinstimmung mit f (x) geht dabei verloren. Ein sorgfältig durchgeführter doppelter Grenzübergang „n → ∞, p → ∞“ liefert das folgende Ergebnis:

Satz (Fourier-Rücktransformation)

Sei f : ℝ → ℂ mit I(|f|) < ∞. Weiter sei f stückweise stetig differenzierbar und es gelte f (x) = f (x±) für alle x  ∈  ℝ. Dann gilt

lim_p → ∞ ∫^p;_−p;^{^}f(k) e^ikx dk = f (x) für alle x  ∈  ℝ.

Ist I(|^{^}f|) < ∞, so gilt stärker

∫^∞_−∞^{^}f(k) e^ikx dk = f (x), d. h. $\binom{^}{\binom{^}{f}}$ (−x) = ^f (x)_2π für alle x  ∈  ℝ.

Die Feinheit des Ergebnisses lässt sich durch eine Stetigkeitsüberlegung illustrieren: Die Fourier-Transformierte ℱ(f) = ^{^}f einer stückweise stetigen Funktion f ist stetig, und damit ist auch ℱ(^{^}f) stetig, vorausgesetzt, ℱ(^{^}f) existiert, d. h. es gilt I(|^{^}f|) < ∞. Ist also f wie im Satz unstetig, so gilt notwendig

I(|^{^}f|) = ∞,

da sonst f wegen ℱ(^{^}f)(−x) = f (x) stetig wäre. Dieses Phänomen haben wir bei den Fourier-Reihen mit „∑_k|c_k| = ∞“ schon kennengelernt. Ein instruktives Beispiel für die Fourier-Transformation ist:

Beispiel

Sei f : ℝ → ℝ die arithmetisch gemittelte Indikatorfunktion von [ −1, 1 ], d. h.

$f (x) = { \begin{matrix} 1 & falls |x| < 1, \\ 1 / 2 & falls |x| = 1, \\ 0 & falls |x| > 1. \end{matrix}$

Dann gilt für alle k  ∈  ℝ*

^{^}f(k) = ^sin(k)_πk, stetig fortgesetzt

2π ^{^}f(k) = ∫¹₋₁e^−ikx dx = ${\frac{e^{- ikx}}{- ik}|}_{x = - 1}^{x = 1}$ = ^{e^−ik − e^ik}_−ik = ²_k ^{e^ik − e^−ik}_2i = 2 ^sin(k)_k.

Weiter ist π^{^}f(0) = 1. Da das uneigentliche Integral über |sin(k)/k|, k  ∈  ℝ, unendlich ist, gilt I(|^{^}f|) = ∞. Der Satz über die Rücktransformation liefert für x = 0 das uneigentliche Integral

∫^∞₀^sin(k)_k dk = ^π₂ lim_p → ∞ ∫^p;_−p;^{^}f(k)e^ik0 dk = ^π₂ f (0) = ^π₂.

die Diagramme zeigen ∫^p;_−p;^{^}f(k) e^ikx dk = ∫^p;_−p;^{sin(k) cos(kx)}_kπ dk in der Variablen x für p = 5, 20, 80

Die Fourier-Transformation führt also aus der Klasse aller uneigentlichen integrierbaren Funktionen f : ℝ → ℝ mit |I(f)| < ∞ heraus, und dies ist sogar für Funktionen möglich, die außerhalb eines kompakten Intervalls null sind. Eine Einschränkung der Funktionen hat in dieser Hinsicht bessere Eigenschaften:

Definition (schnell fallende Funktion, Schwartz-Raum)

Ein f : ℝ → ℂ heißt schnell fallend, falls für alle m ≥ 1 gilt:

lim_x → ∞ x^mf (x) = lim_{x → −∞} x^mf (x) = 0.

Ist f glatt und f ⁽ⁿ⁾ schnell fallend für alle n, so heißt f eine Schwartz-Funktion. Die Menge der Schwartz-Funktionen heißt der Schwartz-Raum.

Das vielleicht wichtigste Beispiel für eine Schwartz-Funktion ist die Gaußsche Glockenkurve. Wir werden sie gleich noch genauer betrachten.

Die Bedeutung der Schwartz-Funktionen zeigt:

Satz (Fourier-Transformation einer Schwartz-Funktion)

(a)	Die Fourier-Transformation ist eine Bijektion auf dem Schwartz-Raum: Für jede Schwartz-Funktion f ist ℱ(f) eine Schwartz-Funktion und zudem gibt es eine Schwartz-Funktion g mit ℱ(g) = f.

(b)	Für jede Schwartz-Funktion f und alle n gilt (mit Variablen x für f und k für ℱ(f)): ℱ(f)⁽ⁿ⁾ = (− i)ⁿ ℱ(xⁿf), ℱ(f ⁽ⁿ⁾) = iⁿ kⁿ ℱ(f). (Ableitungsregeln)

(c)	Sind f, g Schwartz-Funktionen, so ist 〈 ℱ(f), ℱ(g) 〉 = 〈 f, g 〉, speziell also ∥ f ∥₂ = ∥ ℱ(f) ∥₂.

Die Ableitungsregel gehört zu den wichtigsten Eigenschaften der Fourier-Transformation. Die Ableitung einer Funktion wird durch die Transformation zu einer einfachen Multiplikation. Um f abzuleiten, kann man ℱ(f) bilden, mit i k multiplizieren und das Ergebnis rücktransformieren.

Die erste Regel erhält man durch Differenzieren unter dem Integral:

2π ℱ(f)′	= ^d_dk ∫^∞_−∞f (x) e^−ikx dx = ∫^∞_−∞∂_k(f (x) e^−ikx) dx
	= ∫^∞_−∞− i x f (x) e^−ikx dx = − i ℱ(xf).

Dass dies erlaubt ist, ist natürlich zu beweisen. Die zweite Regel ergibt sich dagegen durch partielle Integration:

2π ℱ(f ′) = ∫^∞_−∞f ′(x) e^−ikx dx = 0 − ∫^∞_−∞f (x) (− i k) e^−ikx dx = i k ℱ(f).

Als Anwendung der beiden Ableitungsregeln bestimmen wir die Fourier-Transformierte der Gaußschen Glockenkurve f : ℝ → ℝ,

f (x) = e^−x²/2 für alle x  ∈  ℝ.

Hierzu verwenden wir folgende Charakterisierung der Gauß-Funktion durch ihre Differentialgleichung: Für f gilt f ′(x) = − x f (x). Ist nun g : ℝ → ℝ eine weitere Funktion mit g′(x) = − x g(x), so gilt

(^g(x)_f (x))′ = ^{g′(x) f (x) − f ′(x) g(x)}_f ²(x) = ^{− x g(x) f (x) + x f (x) g(x)}_f ²(x) = 0,

sodass g/f = c = g(0)/f (0) = g(0) und damit g = f g(0). Damit können wir nun den folgenden Satz beweisen, der die Glockenkurve auszeichnet: Sie reproduziert sich bei der Fourier-Transformation.

Satz (Fourier-Transformation der Gauß-Funktion)

Für die Gauß-Funktion f : ℝ → ℝ, f (x) = exp(− x²/2), gilt

^{^}f = $\frac{f}{\sqrt{2 π}}$ .

Beweis

Wegen f ′(x) = − x f (x) gilt nach den Ableitungsregeln

ℱ(f)′ = − i ℱ(xf) = i ℱ(−xf) = i ℱ(f ′) = i i k ℱ(f) = − k ℱ(f).

Wegen

2π ℱ(0) = ∫^∞_−∞e^−x²/2 e^−i0x dx = $\sqrt{2 π}$

folgt die Behauptung aus der Vorüberlegung (mit g = ℱ(f)).

Oft wird die Fourier-Transformierte aus Normierungsgründen mit dem Vorfaktor 1/ $\sqrt{2 π}$ statt 1/(2π) definiert. Dann gilt ^{^}f = f für die Gauß-Funktion.

∫^p;_−p;^{^}f(k) e^ikx dk in der Variablen x für p = 2 (links) und p = 3 (rechts)