Die Bessel-Ungleichung und gleichmäßige Konvergenz

Als nächstes zeigen wir, dass sich die punktweise Konvergenz zur gleichmäßigen Konvergenz verstärkt, wenn die betrachtete Funktion f stetig und stückweise stetig differenzierbar ist. Das Argument beruht auf einer für die gesamte Theorie bedeutsamen Ungleichung.

Satz (Bessel-Ungleichung)

Sei f : ℝ → ℂ 2π-periodisch und integrierbar auf [ 0, 2π ]. Dann gilt für die Fourier-Koeffizienten c_k von f:

∑_{k  ∈  ℤ} |c_k|² ≤ ¹_2π ∫^2π₀|f (x)|² dx. (Bessel-Ungleichung)

Beweis

Die Behauptung folgt durch Grenzübergang aus der für alle n gültigen Abschätzung

0 ≤ ∫^2π₀|f (x) − FS_n(x)|² dx = ∫^2π₀|f (x) − ∑_{−n ≤ k ≤ n} c_k e^i k x|² dx

= ∫^2π₀(f (x) − ∑_{−n ≤ k ≤ n} c_k e^i k x) (f (x) − ∑_{−n ≤ k ≤ n} c_k e^i k x) dx

= ∫^2π₀|f (x)|² dx + ∑_{−n ≤ k ≤ n}( − ∫^2π₀f (x) c_k e^i k x dx − ∫^2π₀f (x) c_k e^i k x dx + ∫^2π₀|c_k|² 1 dx)

= ∫^2π₀|f (x)|² dx + 2π ∑_{− n ≤ k ≤ n} (− |c_k|² − |c_k|² + |c_k|²)

= ∫^2π₀|f (x)|² dx − 2π ∑_{− n ≤ k ≤ n} |c_k|².

Dabei führt die Orthogonalität der Funktionen e^i k x dazu, dass die beim Ausmultiplizieren auftauchende Doppelsumme eine einfache Summe ist.

Im nächsten Kapitel werden wir diesen Beweis noch einmal in einer algebraischen Notation vorführen. Weiter werden wir dann zeigen, dass sogar Gleichheit gilt. Hier halten wir noch fest, dass aus der Bessel-Ungleichung noch einmal folgt, dass lim_k|c_k| = 0.

Zusätzlich zur Bessel-Ungleichung brauchen wir auch noch ein Ergebnis über gliedweises Differenzieren:

Satz (Fourier-Koeffizienten der Ableitung)

Sei f : ℝ → ℂ 2π-periodisch, stetig und auf [ 0, 2π ] stückweise stetig differenzierbar. Weiter seien

FS(f) = ∑_{k  ∈  ℤ} c_k e^i k x und FS(f ′) = ∑_{k  ∈  ℤ} d_k e^i k x.

Dann gilt d_k = i k c_k für alle k.

Beweis

Zunächst gilt

2π d₀ = ∫^2π₀f ′(x) 1 dx = ${f (x)|}_{0}^{2 π}$ = 0.

Eine partielle Integration zeigt, dass für alle k ≠ 0 gilt

2π d_k	= ∫^2π₀f ′(x) e^−i k x dx
	= ${f (x) e^{- i k x}\|}_{0}^{2 π}$ + i k ∫^2π₀f (x) e^{− i k x} dx
	= 0 + 2π c_k i k.

Nun können wir vergleichsweise leicht zeigen:

Satz (Konvergenzsatz für stetige und stückweise stetig differenzierbare Funktionen)

Sei f : ℝ → ℂ 2π-periodisch, stetig und auf [ 0, 2π ] stückweise stetig differenzierbar. Dann konvergiert FS(f) gleichmäßig gegen f.

Beweis

Wir wissen bereits, dass FS(f) bei diesen Voraussetzungen punktweise gegen f konvergiert. Nach dem Konvergenzkriterium von Weierstraß genügt es also zu zeigen, dass

∑_{k  ∈  ℤ} |c_k| < ∞.

Sind wieder c_k, d_k die Fourier-Koeffizienten von f bzw. f ′, so gilt für alle k ≠ 0 (unter Verwendung von 2xy ≤ x² + y² für alle x, y  ∈  ℝ):

2 |c_k| = 2 ¹_k (k |c_k|) ≤ ¹_k² + k² |c_k|² = ¹_k² + |d_k|².

Da ∑_{k  ∈  ℤ, k ≠ 0} 1/k² < ∞ und ∑_{k  ∈  ℤ} |d_k|² < ∞ nach der Bessel-Ungleichung für f ′ gilt, zeigt dies, dass

∑_{k  ∈  ℤ} |c_k| < ∞.