Weitere Konvergenzergebnisse
Wir geben noch einige weitere interessante Konvergenzergebnisse ohne Beweis an. Verzichten wir im gleichmäßigen Konvergenzsatz auf die Stetigkeit von f, so erhalten wir:
Satz (Konvergenzsatz für stückweise stetig differenzierbare Funktionen)
Sei f : ℝ → ℂ 2π-periodisch und auf [ 0, 2π ] stückweise stetig differenzierbar. Dann gilt für alle [ a, b ] ⊆ ℝ und alle x ∈ ℝ:
(a) | Ist f stetig auf [ a, b ], so konvergiert FS(f) auf [ a, b ] gleichmäßig gegen f. |
(b) | Ist f unstetig in x, so gilt FS(f)(x) = f (x±). |
Der folgende starke Satz besagt, dass punktweise Konvergenz für stetige Funktionen mit beschränkter Variation gilt:
Satz (Konvergenzsatz von Dirichlet-Jordan)
Sei f : ℝ → ℂ 2π-periodisch und f|[ 0, 2π ] habe beschränkte Variation. Dann gilt
FS(f)(x) = f (x±) für alle x.
Ist also f stetig und f|[ 0, 2π ] von beschränkter Variation, so konvergiert FS(f) punktweise gegen f.
Andererseits genügt die bloße Stetigkeit von f nicht mehr für die punktweise Konvergenz der Fourier-Reihe von f. Erste Gegenbeispiele wurden von Paul Du Bois-Reymond und Lipót Fejér konstruiert. Die Fourier-Reihen dieser Beispiele konvergieren zwar nicht überall, aber doch an vielen Stellen gegen die stetige Ausgangsfunktion, und viele Fragen blieben noch offen. Wie schon für die Charakterisierung der Riemann-integrierbaren Funktionen schuf erst die moderne Maß- und Integrationstheorie den begrifflichen Rahmen zur Klärung der Verhältnisse. Aus einem Satz von Lennart Carleson aus den 1960er Jahren folgt, dass für jede Riemann-integrierbare (und folglich beschränkte) 2π-periodische Funktion f die Menge aller x mit FS(f)(x) ≠ f (x) das Lebesgue-Maß Null besitzt. So wie eine Riemann-integrierbare Funktion also im Lebesgueschen Sinne fast überall stetig ist, so konvergiert die Fourier-Reihe einer Riemann-integrierbaren Funktion im Lebesgueschen Sinne fast überall gegen die Funktion.