Bestimmung einiger Fourier-Reihen

Beispiel 1:  Die Fourier-Reihe einer Zackenfunktion

Sei f : ℝ → ℝ die 2π-periodische Funktion mit

f (x)  =  |x|  für alle x  ∈  [ − π, π ].

Wir bestimmen die Fourier-Reihe FS(f) in reeller Darstellung,

FS(f)  =  a₀/2  +  ∑_k ≥ 1 (a_k cos(k x)  +  b_k sin(k x)).

Da f gerade ist, sind alle Fourier-Koeffizienten b_k gleich 0. Für die Kosinus-Koeffizienten gilt:

Damit gilt also

FS(f)(x)  =  ^π₂  −  ⁴_π (^cos(x)_1²  +  ^cos(3x)_3²  +  ^cos(5x)_5²  +  …).

Die Funktion f ist stetig und stückweise differenzierbar, sodass FS(f) punktweise gegen f konvergiert. Speziell gilt 0 = f (0) = FS(f)(0), und damit erhalten wir

^π2₈  =  ¹_1²  +  ¹_3²  +  ¹_5²  +  …  =  ∑_{k ungerade}¹_k².

Mit Hilfe von Summationssätzen über Reihenprodukte können wir mit diesem Ergebnis auch die Eulersche Summe ∑_n ≥ 1 1/n² berechnen. Denn jede natürliche Zahl n ≥ 1 lässt sich eindeutig als Produkt der Form 2^m k mit einem m ≥ 0 und einem ungeraden k schreiben. Damit gilt

∑_n ≥ 1¹_n²  =  ∑_{m ≥ 0, k ungerade}¹_(2^mk)²  =  ∑_{m ≥ 0, k ungerade}¹_4^mk²

 =  (∑_m ≥ 0¹_4^m) (∑_{k ungerade}¹_k²)  =  ¹_1 − 1/4 ^π2₈  =  ^π2₆.

Wir werden dieses Ergebnis später noch einmal mit Hilfe der Vollständigkeitsrelation erhalten.

Beispiel 2:  Die Fourier-Reihe einer Sprungfunktion

Sei f : ℝ → ℝ die 2π-periodische Funktion mit

$\mathrm{f}(\mathrm{x})= { \begin{array}{cc}1\hfill & \mathit{\text{falls\hspace{1em}}}\mathrm{x}\in ]0,\mathrm{\pi }[\mathrm{},\hfill \\ 0\hfill & \mathit{\text{falls\hspace{1em}}}\mathrm{x}\in \{0,\mathrm{\pi }\}\mathrm{},\hfill \\ -1\hfill & \mathit{\text{falls\hspace{1em}}}\mathrm{x}\in ]\mathrm{\pi }\mathrm{},2\mathrm{\pi }[\mathrm{.}\hfill \end{array}$

Wir bestimmen wieder die reell dargestellte Fourier-Reihe FS(f). Da die Funktion f ungerade ist, sind diesmal alle Kosinus-Koeffizienten a_k gleich 0. Weiter ist f (x) sin(k x) gerade für alle k ≥ 1, und damit gilt für alle k ≥ 1:

Die Werte 1 − cos(k π) pendeln für k ≥ 1 zwischen 2 und 0 hin und her, und damit gilt

FS(f)(x)  =  ⁴_π (^sin(x)₁  +  ^sin(3x)₃  +  ^sin(5x)₅  +  …).

Die Funktion f ist stückweise differenzierbar. Da sie an ihren Unstetigkeitsstellen 0, ± π, ± 2π, … das arithmetische Mittel ihrer dortigen links- und rechtsseitigen Grenzwerte −1 und 1 annimmt, konvergiert FS(f) punktweise gegen f. Speziell gilt

1  =  f(^π₂)  =  FS(f)(^π₂).

Da sin(k π/2) für ungerade k ≥ 1 zwischen 1 und −1 hin und her pendelt, haben wir also erneut gezeigt, dass

^π₄  =  1  −  ¹₃  +  ¹₅  −  ¹₇  ±  … (Leibniz-Reihe)

In den Diagrammen zu dieser Fourier-Reihe können wir das bedeutsame Gibbs-Phänomen beobachten, nämlich die „Überschwinger“ an den Sprungstellen. Man kann zeigen, dass diese Überschwinger beschränkt sind, was aus den Diagrammen nicht abzulesen ist. Wir verweisen den interessierten Leser auf den mittlerweile klassischen Artikel von Edwin und Robert Hewitt: The Gibbs-Wilbraham phenomenon: an episode in Fourier analysis, Archive for the History of Exact Sciences 21, S. 129 − 160.

Beispiel 3:  Die Fourier-Reihe einer Sägezahnfunktion

Sei f : ℝ → ℝ die 2π-periodische Funktion mit f (0) = 0 und

f (x)  =  ^π − x₂  für alle x  ∈  ] 0, 2π [.

In der reellen Fourier-Reihe von f verschwinden wieder alle Kosinus-Koeffizienten, da f ungerade ist. Partielle Integration liefert:

Erneut gilt punktweise Konvergenz von FS(f) gegen f, sodass also

f (x)  =  FS(f)(x)  =  sin(x)/1  +  sin(2x)/2  +  sin(3x)/3  +  …

Setzen wir x = π/2, so erhalten wir noch einmal, dass

π/4  =  1  −  1/3  +  1/5  −  1/7  ±  …

Beispiel 4:  Komplexe Fourier-Reihen

Die folgenden Diagramme zeigen f[ ℝ ] und FS_n(f) [ ℝ ] für einige komplexwertige 2π-periodische f und Grade n. Zudem sind wie oben wieder die Werte FS_n(f) (kπ/4) für k = 0, …, 7 markiert. Gut erkennbar sind jeweils die Mittelung und die Überschwinger an Unstetigkeitsstellen.