Der Konvergenzsatz für integrierbare Funktionen

Wir kehren nun zu den Fourier-Reihen zurück und betrachten sie im Licht unserer geometrischen Vektorraumstruktur. Aus der Definition des Skalarprodukts

〈 f, g 〉 = ¹_2π ∫^2π₀ f (x) g(x) dx

und der Definition der Fourier-Koeffizienten (c_k)_{k  ∈  ℤ} einer Funktion f,

c_k = ¹_2π ∫^2π₀f (x) e^−i k x dx = ¹_2π ∫^2π₀e^i k x f (x) dx für alle k  ∈  ℤ,

lesen wir ab, dass

c_k = 〈 e^i k x, f 〉 für alle k  ∈  ℤ. (Skalarproduktdarstellung der Koeffizienten)

Für alle k lässt sich der Fourier-Koeffizient c_k = 〈 e^i k x, f 〉 als der Schwingungsanteil der Funktion f für die Frequenz k ansehen, ganz so, wie sich für das kanonische Skalarprodukt im ℝ³ die reelle Zahl 〈 e₃, v 〉 = v₃ mit e₃ = (0, 0, 1) und v = (v₁, v₂, v₃) als der Höhenanteil des Vektors v ansehen lässt.

Die Orthogonalitätseigenschaft können wir nun einfach schreiben als

〈 e^i n x, e^i k x 〉 = δ_{n, k} für alle n, k  ∈  ℤ.

Speziell gilt ∥e^i k x∥₂ = 1 für alle k. Die Vektoren e^i k x, k  ∈  ℤ, unseres Vektorraumes V sind also, in der Sprache der Linearen Algebra, orthonormal:

Definition (orthogonal, orthonormal)

Zwei Vektoren f, g  ∈  V heißen orthogonal, falls 〈 f, g 〉 = 0. Ein A ⊆ V heißt orthogonal, falls je zwei verschiedene Elemente von A orthogonal sind. Gilt zudem ∥f∥₂ = 1 für alle f  ∈  A, so heißt A orthonormal.

Die Frage ist nun, ob unsere orthonormalen Vektoren e^i k x, k  ∈  ℤ, ausreichen, alle Vektoren aus V in einer bestimmten Weise darzustellen. Im Kontrast zu den Begriffen „Erzeugendensystem“ und „Orthonormalbasis“ der Linearen Algebra haben wir unendliche Reihen und nicht nur endliche Linearkombinationen von Vektoren im Blick. Für jedes stetige und stückweise stetig differenzierbare f  ∈  V wissen wir bereits, dass

f = lim_n FS_n(f) = ∑_{k  ∈  ℤ} c_k e^i k x = FS(f) (gleichmäßig).

Ein bestechendes Ergebnis ist nun, dass die Konvergenzaussage für alle Vektoren f  ∈  V richtig ist, wenn wir die gleichmäßige Konvergenz zur Konvergenz im quadratischen Mittel abschwächen. Die Vektoren e^ikx, k  ∈  ℤ, bilden also in diesem Sinne tatsächlich eine Orthonormalbasis von V. Dass dies so ist, wird sich aus dem gleichmäßigen Konvergenzsatz und der folgenden Analyse des engen Zusammenhangs zwischen den Fourier-Reihen und dem Skalarprodukt 〈 f, g 〉 ergeben.

Wir betrachten zunächst das Skalarprodukt zwischen f und den Partialsummen FS_n(f) der Fourier-Reihe von f. Die Eleganz des Vektorraumkalküls ist hier besonders augenfällig. Wir notieren und berechnen keine Integrale mehr, sondern jonglieren nur noch mit den Eigenschaften des Skalarprodukts und der Orthonormalität der Vektoren e^i k x.

Satz (Approximation in 2-Seminorm, Bessel-Ungleichung)

Sei f  ∈  V, und seien (c_k)_{k  ∈  ℤ} die Fourier-Koeffizienten von f. Dann gilt für alle n:

(a)	〈 f, FS_n(f) 〉 = 〈 FS_n(f), f 〉 = 〈 FS_n(f), FS_n(f) 〉 = ∑_{− n ≤ k ≤ n} \|c_k\|²,

(b)	∥ f − FS_n(f) ∥²₂ = ∥ f ∥²₂ − ∑_{− n ≤ k ≤ n} \|c_k\|²,

(c)	∑_{k  ∈  ℤ} \|c_k\|² ≤ ∥ f ∥²₂, (Bessel-Ungleichung)

(d)	∥ f − FS_n(f)∥₂ < ∥ f − ∑_{− n ≤ k ≤ n} d_k e^i k x ∥₂ für alle d_− n, …, d_n  ∈  ℂ mit (d_− n, …, d_n) ≠ (c_− n, …, c_n). (Optimalität)

Beweis

zu (a):

〈 f, FS_n(f) 〉	= 〈 f, ∑_{− n ≤ k ≤ n} c_k e^i k x 〉 = ∑_{− n ≤ k ≤ n} c_k 〈 f, e^i k x 〉
	= ∑_{− n ≤ k ≤ n} c_k c_k = ∑_{− n ≤ k ≤ n} \|c_k\|²,

wobei wir neben den elementaren Eigenschaften des Skalarprodukts nur verwenden, dass

c_k = 〈 e^i k x, f 〉 = 〈 f, e^i k x 〉 für alle k  ∈  ℤ.

Wegen 〈 f, FS_n(f) 〉  ∈  ℝ gilt weiter

〈 FS_n(f), f 〉 = 〈 f, FS_n(f) 〉 = 〈 f, FS_n(f) 〉.

Ebenso liefern die Skalarprodukteigenschaften und die Orthonormalität der Vektoren e^i k x, dass

〈 FS_n(f), FS_n(f) 〉	= 〈 ∑_{− n ≤ k ≤ n} c_k e^i k x, ∑_{− n ≤ j ≤ n} c_j e^i j x 〉
	= ∑_{− n ≤ k, j ≤ n} c_k c_j 〈 e^i k x, e^{i j x} 〉
	= ∑_{− n ≤ k ≤ n} c_k c_k = ∑_{− n ≤ k ≤ n} \|c_k\|².

zu (b):

∥ f − FS_n(f) ∥²₂ = 〈 f − FS_n(f), f − FS_n(f) 〉 =

〈 f, f 〉 − 〈 f, FS_n(f) 〉 − 〈 FS_n(f), f 〉 + 〈 FS_n(f), FS_n(f 〉) =_{nach (a)}

∥ f ∥²₂ − ∑_{− n ≤ k ≤ n} |c_k|².

zu (c):

Folgt aus (b), da ∥ f − FS_n(f) ∥²₂ ≥ 0.

zu (d):

Seien d_− n, …, d_n  ∈  ℂ. Dann gilt:

${∥ f - \sum _{- n \leq k \leq n} d_{k} e^{i k x} ∥}_{2}^{2}$ =

〈 f − ∑_{− n ≤ k ≤ n} d_k e^i k x, f − ∑_{− n ≤ k ≤ n} d_k e^i k x 〉 =

〈 f, f 〉 − ∑_{− n ≤ k ≤ n} (d_k 〈 f, e^i k x 〉 + d_k 〈 e^i k x, f 〉) + ∑_{− n ≤ k ≤ n} |d_k|² =

∥ f ∥²₂ + ∑_{− n ≤ k ≤ n} (|d_k|² − d_k c_k − d_k c_k) =

∥ f ∥²₂ + ∑_{− n ≤ k ≤ n} ((c_k − d_k) ( c_k − d_k) − |c_k|²) =

∥ f ∥²₂ − ∑_{− n ≤ k ≤ n} |c_k|² + ∑_{− n ≤ k ≤ n} |c_k − d_k|² = _{nach (b)}

∥ f − FS_n(f) ∥²₂ + ∑_{− n ≤ k ≤ n} |c_k − d_k|².

Dies zeigt zusammen mit der Monotonie der Wurzel die Behauptung, da der zweite Summand in der letzten Zeile positiv ist, falls mindestens ein d_k von c_k verschieden ist.

Die Optimalität besagt, dass jede Partialsumme FS_n(f) der Fourier-Reihe von f die im Sinne des quadratischen Mittels bestmögliche Approximation an f unter allen Linearkombinationen der Funktionen e^−i n x, …, e^i n x darstellt. Für reellwertige f ist jede Partialsumme FS_n(f) die in diesem Sinne bestmögliche trigonometrische Approximation n-ten Grades an die Funktion f.

Wir fragen nun, ob in der Bessel-Ungleichung sogar Gleichheit gilt. Hier sind folgende Sprechweisen üblich:

Definition (Parseval-Gleichung, Vollständigkeitsrelation)

Gilt in der Bessel-Ungleichung Gleichheit, also

∑_{k  ∈  ℤ} |c_k|² = ∥ f ∥²₂,

so sagen wir, dass die Parseval-Gleichung für f gilt oder dass f die Vollständigkeitsrelation erfüllt.

Die Bezeichnung „Vollständigkeit“ bringt hier zum Ausdruck, dass die Funktion f außer den Schwingungsanteilen e^i k x keine im Sinne der 2-Seminorm nennenswerten Anteile besitzt. Sie ist äquivalent zur Konvergenz der Fourier-Reihe von f gegen f im quadratischen Mittel:

Korollar (Konvergenzkriterium)

Sei f  ∈  V, und seien (c_k)_{k  ∈  ℤ} die Fourier-Koeffizienten von f. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

(a)	lim_n FS_n(f) = f (in 2-Seminorm).

(b)	Es gilt die Parseval-Gleichung für f.

Beweis

Die Behauptung folgt unmittelbar aus Teil (b) des obigen Satzes und der Definition der Konvergenz im quadratischen Mittel.

Wir notieren die Parseval-Gleichung noch explizit für Fourier-Reihen in reeller Darstellung:

Satz (Vollständigkeitsrelation in reeller Darstellung)

Sei f  ∈  V reellwertig, und es gelte die Parseval-Gleichung für f. Dann gilt:

¹_π ∫^2π₀f (x)² dx = ^a₀²₂ + ∑_k ≥ 1 (a_k² + b_k²),

wobei

FS(f)(x) = ^a₀₂ + ∑_k ≥ 1 (a_k cos(k x) + b_k sin(k x))

die Fourier-Reihe von f in reeller Darstellung ist.

Beweis

Die Aussage folgt aus

|c₀|² = ^a₀²₄ und |c_k|² = ^{a_k² + b_k²}₄ für alle k ≠ 0

und

¹_2π ∫^2π₀f (x)² dx = ∥ f ∥²₂ = ∑_{k  ∈  ℤ} |c_k|² = |c₀|² + ∑_k ≥ 1 2 |c_k|².

Die Vollständigkeitsrelation liefert zusammen mit den Konvergenzsätzen der Theorie eine neue Methode zur Bestimmung von unendlichen Summen. Ein Beispiel hierzu werden wir unten kennenlernen.

Zur Rückführung des quadratischen Konvergenzsatzes auf den gleichmäßigen Konvergenzsatz fehlt nun nur noch eine Beobachtung:

Satz (Approximationssatz)

Seien f  ∈  V und ε > 0. Dann existiert eine stetige und stückweise stetig differenzierbare Funktion g  ∈  V mit ∥ f − g ∥₂ ≤ ε.

Beweis

Wir zeigen die Aussage für reellwertige f. Der Fall f : ℝ → ℂ ergibt sich hieraus durch Aufspaltung in Real- und Imaginärteil. Ohne Einschränkung dürfen wir zudem |f| ≤ 1/2 annehmen, denn ist f  ∈  V mit |f| ≤ s und ∥ f/(2s) − g ∥₂ ≤ ε/(2s) für ein g, so ist ∥ f − 2s g ∥₂ ≤ ε. Seien also g₁, g₂ Treppenfunktionen auf [ 0, 2π ] mit

− ¹₂ ≤ g₁ ≤ f|[ 0, 2π ] ≤ g₂ ≤ ¹₂, I(g₂ − g₁) ≤ ^ε²₄.

Für alle y mit |y| ≤ 1 ist y² ≤ |y|, und damit gilt

∥ f − g₁ ∥²₂ ≤ ∫^2π₀|f (x) − g₁(x)|² dx ≤ ∫^2π₀|f (x) − g₁(x)| dx ≤ ∫^2π₀g₂(x) − g₁(x) dx ≤ ^ε²₄.

Durch Ersetzen der Sprünge der Treppenfunktion g₁ durch hinreichend steile Geraden können wir ein stetiges und stückweise lineares g finden mit |g| ≤ 1/2 und I(|g₁ − g|) ≤ ε²/4. Dann gilt

∥ f − g ∥₂ ≤ ∥ f − g₁ ∥₂ + ∥ g₁ − g ∥₂ ≤ ε/2 + ε/2 = ε.

Nach diesen Vorbereitungen können wir nun zeigen:

Satz (Konvergenzsatz für integrierbare Funktionen)

Sei f  ∈  V. Dann konvergiert die Fourier-Reihe FS(f) = ∑_{k  ∈  ℤ} c_k e^ikx von f im quadratischen Mittel gegen f, und es gilt

∑_{k  ∈  ℤ} |c_k|² = 〈 f, f 〉 = ∥ f ∥²₂.

Beweis

Sei ε > 0, und sei g  ∈  V wie im Approximationssatz für ε/3, sodass also

(1) ∥ f − g ∥₂ ≤ ε/3.

Nach dem gleichmäßigen Konvergenzsatz konvergiert FS(g) gleichmäßig und damit auch im quadratischen Mittel gegen g. Also existiert ein n₀ mit

(2) ∥ g − FS_n(g) ∥₂ ≤ ε/3 für alle n ≥ n₀.

Schließlich ist nach der Bessel-Ungleichung auch

(3) ∥FS_n(f) − FS_n(g)∥₂ = ∥ FS_n(f − g)∥₂ ≤ ∥f − g∥₂ ≤ ε/3.

Damit gilt aber für alle n ≥ n₀:

∥f − FS_n(f) ∥₂ ≤ ∥ f − g ∥₂ + ∥ g − FS_n(g) ∥₂ + ∥ FS_n(g) − FS_n(f) ∥₂ ≤ ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε.

Dies zeigt, dass lim_n ∥f − FS_n(f)∥₂ = 0. Wir wissen bereits, dass dies gleichwertig zur Gültigkeit der Vollständigkeitsrelation für f ist.

Beispiel: Noch einmal die Sägezahnfunktion

Sei f : ℝ → ℝ die schon in Beispiel 3 oben betrachtete 2π-periodische Funktion mit f (0) = 0 und

f (x) = ^π − x₂ für alle x  ∈  ] 0, 2π [.

Wir hatten gesehen, dass

FS(f)(x) = ^sin(x)₁ + ^sin(2x)₂ + ^sin(3x)₃ + … für alle x  ∈  ℝ.

Wegen f  ∈  V gilt aber auch Konvergenz im quadratischen Mittel. Die reelle Vollständigkeitsrelation

¹_π ∫^2π₀f (x)² dx = ^a₀²₂ + ∑_k ≥ 1 (a_k² + b_k²)

liefert, dass die Zahlen

¹_4 π ∫^2π₀(π − x)² dx = ¹_4 π ${\frac{(x - π)^{3}}{3}|}_{0}^{2 π}$ = ^2 π³_{12 π} = ^π²₆

und

∑_k ≥ 1 |b_k|² = ∑_k ≥ 1¹_k²

identisch sind. Damit haben wir die Eulersche Summe über die reziproken Quadrate erneut gefunden.

In ähnlicher Weise kann man zeigen, dass

∑_k ≥ 1¹_k⁴ = ^π⁴₉₀.

Dagegen ist keine Berechnung der Summen ∑_k ≥ 1 1/k³ oder ∑_k ≥ 1 1/k⁵ mit Hilfe von Fourier-Reihen oder anderen Methoden bekannt (vgl. 2. 4 in Band 1).