Der Satz von Parseval
Der Konvergenzsatz erlaubt uns die Berechnung des Skalarprodukts 〈 f, f 〉 mit Hilfe der Fourier-Koeffizienten von f. Wir wollen dieses Ergebnis nun noch verallgemeinern, um ein beliebiges Skalarprodukt 〈 f, g 〉 mit Hilfe der Fourier-Koeffizienten von f und g zu berechnen. Hierzu müssen wir gar keine neuen Untersuchungen durchführen, denn das Skalarprodukt lässt sich durch die in Abschnitt 2. 3 diskutierte Polarisationsformel aus der Norm rekonstruieren: Für jeden euklidischen ℝ-Vektorraum V gilt
〈 f, g 〉 = 14 ( ∥ f + g ∥2 − ∥ f − g ∥2),
und für jeden unitären ℂ-Vektorraum V gilt
〈 f, g 〉 = 14 ( ∥ f + g ∥2 − ∥ f − g ∥2 + i ∥ if + g ∥2 − i ∥ if − g ∥2)
für alle f, g ∈ V, wobei ∥ · ∥ die durch das Skalarprodukt induzierte Norm ist. Zum Beweis wird nicht benötigt, dass 〈 f, f 〉 = 0 nur für f = 0 gültig ist, weswegen die Polarisationsformel auch für unseren Vektorraum V anwendbar sind. Wir erhalten:
Satz (Satz von Parseval)
Seien f, g ∈ V, und seien (ck)k ∈ ℤ und (dk)k ∈ ℤ die Fourier-Koeffizienten von f bzw. g. Dann gilt:
〈 f, g 〉 = ∑k ∈ ℤ ck dk.
Beweis
Nach der Polarisationsformel für V, dem Konvergenzsatz und der Polarisationsformel für das kanonische Skalarprodukt 〈 c, d 〉 = c d in ℂ1 gilt
4 〈 f, g 〉 = ∥ f + g ∥22 − ∥ f − g ∥22 + i ∥ if + g ∥22 − i ∥ if − g ∥22 =
∑k ∈ ℤ |ck + dk|2 − |ck − dk|2 + i |ick + dk|2 − i |ick − dk|2 = 4 ∑k ∈ ℤ ck dk.
Damit haben wir das durch ein Integral definierte Skalarprodukt in V vollständig auf Fourier-Reihen zurückgeführt. Kommt es uns nur auf die quadratische Konvergenz an, so können wir eine Funktion f ∈ V durch die Folge (ck)k ∈ ℤ ihrer Fourier-Koeffizienten ersetzen. Das Skalarprodukt 〈 f, g 〉 berechnet sich dann wie gewohnt als Summe von Einzelprodukten.