Der harmonische Oszillator

Wir betrachten die wichtigste physikalisch motivierte lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung, nämlich die in einer Zeitvariablen t und einer Ortsfunktion x(t) dynamisch notierte Differentialgleichung

(+) ^••x(t) = −2r^•x(t) − ω²x(t). (harmonischer Oszillator)

Dabei sind r ≥ 0 und ω > 0 reelle Zahlen. Die Differentialgleichung beschreibt einen Massepunkt der Masse m = 1, der sich auf der x-Achse unter dem Einfluß einer Kraft mit zwei Komponenten bewegt. Eine Komponente −ω²x(t) ist umgekehrt proportional zur Auslenkung x(t), die andere −2r^•x(t) umgekehrt proportional zur Geschwindigkeit (Dämpfung, z. B. durch Reibung). Die reelle Zahl 2r heißt die Dämpfung und ω die ungedämpfte Kreisfrequenz des Oszillators. Dass wir die Dämpfung in der Form 2r schreiben, geschieht zur Vereinfachung von gleich folgenden Formeln.

Die Differentialgleichung (+) ist eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten, sodass wir die oben entwickelte Lösungstheorie anwenden können. Wir betrachten also das zugehörige Polynom

P(z) = z² + 2rz + ω², z  ∈  ℂ.

Die komplexen Nullstellen sind

λ_{1, 2} = − r ± $\sqrt{r^{2} - ω^{2}}$ .

Wir setzen

ω_r = $\sqrt{{|r}^{2} - ω^{2} |}$

und unterscheiden aus physikalischen Gründen vier Fälle.

1. Fall: r = 0

Die (uns schon bekannte) allgemeine Lösung ist

x(t) = a cos(ωt) + b sin(ωt), a, b  ∈  ℝ. (ungedämpfte Schwingung)

2. Fall: ω > r > 0

Es gilt λ_{1, 2} = −r ± iω_r  ∈  ℂ, λ₁ ≠ λ₂. Aus e^{λ_{1, 2} t} = exp(−rt ± iω_rt) erhalten wir durch Real- und Imaginärteilbildung die allgemeine reelle Lösung

x(t) = a e^−rt cos(ω_rt) + b e^−rt sin(ω_rt), a, b  ∈  ℝ. (gedämpfte Schwingung)

3. Fall: ω < r

In diesem Fall ist λ₂ < λ₁ < 0, und wir erhalten die allgemeine Lösung

x(t) = a e^−rt e^ω_r t + b e^−rt e^−ω_r t, a, b  ∈  ℝ. (überdämpfter Kriechfall)

4. Fall: ω = r > 0.

In diesem Fall ist λ₁ = λ₂ und f_λ, f_{λ, 1} : ℝ → ℝ mit λ = λ₁ = λ₂ und

x_λ(t) = e^λt, x_{λ, 1}(t) = t e^λt

ein Fundamentalsystem. Wir erhalten also die allgemeine Lösung

x(t) = a e^−rt + b t e^−rt = (a + bt) e^−rt, a, b  ∈  ℝ. (aperiodischer Grenzfall)

Die Lösung des zweiten Falls ist auch für r = 0 gültig, sodass man den ersten in den zweiten Fall (mit ω₀ = ω) mit aufnehmen kann.

Mit Hilfe der allgemeinen Lösungen lassen sich Anfangswertprobleme lösen. Ist zum Beispiel x₀ = x(0) = 0 und v₀ = ^•x(0)  ∈  ℝ (Start im Nullpunkt zur Zeit 0 mit einer beliebigen Geschwindigkeit), so ergibt sich im dritten Fall

0 = x(0) = a e^λ₁ 0 + b e^λ₂ 0 = a + b,

v₀ = ^•x(0) = a λ₁ e^{λ₁ 0} + b λ₂ e^{λ₂ 0} = λ₁ a + λ₂ b.

Dieses Gleichungssystem in den Unbekannten a und b hat die Lösung

a = ^v₀_{λ₁ − λ₂} = ^v₀_{2ω_r} , b = − a = − ^v₀_{2ω_r}.

An diesem einfachen Beispiel kann man die Bedingung an die Wronski-Determinante einsehen: Ist sie stets ungleich Null, so ist das sich aus einer allgemeinen Lösung für bestimmte Anfangswerte ergebende Gleichungssystem eindeutig lösbar. In unserem Fall ist

f₁(t) = e^{λ₁ t}, f₂(t) = e^{λ₂ t},

W(t) = f₁(t) f₂′(t) − f₂(t) f₁′(t) = (λ₂ − λ₁) e^{(λ₁ + λ₂) t} ≠ 0.

Wir stellen die Lösungen für die vier Fälle tabellarisch zusammen und visualisieren den typischen Verlauf.

Fall	Lösung x(t) für x₀ = 0, v₀  ∈  ℝ
r = 0	v₀/ω sin(ωt)
ω > r	v₀/ω_r e^−rt sin(ω_rt)
ω < r	v₀/(2ω_r) e^−rt (e^ω_rt − e^{− ω_rt}) = v₀/ω_r e^−rt sinh(ω_rt)
ω = r	v₀ t e^−rt

Im Folgenden ist ω₀ = v₀ = 1. Links sind gedämpfte Schwingungen für r = 1/20, r = 1/10 (gestrichelt) und r = 1/4 (gepunktet) gezeigt. Die Periode 2π/ω_r der Schwingungen hängt von r ab.

Kriechfälle für r = 2, r = 4 (gestrichelt) und r = 6 (gepunktet).

Der aperiodische Grenzfall r = ω (durchgezogen) lässt sich sowohl als Limes r ↓ 1 des Kriechfalls (im Diagramm sind r = 1,1 und r = 1,05) ansehen …

… als auch als Limes r↑1 einer gedämpften Schwingung (im Diagramm sind r = 0,8 und r = 0,9).