Das Richtungsfeld
Eine Differentialgleichung erster Ordnung
y′ = φ(x, y), φ : P → ℝ, P ⊆ ℝ2
gibt für jeden Punkt (x, y) ∈ P eine Steigung φ(x, y) ∈ ℝ vor. Lösungen sind Funktionen f : I → ℝ, die in allen x ∈ I die Steigung φ(x, f (x)) besitzen. Diese Situation lässt sich sehr ansprechend visualisieren. Wir versehen hierzu P mit einem hinreichend feinen Punktgitter, und für jeden Punkt (x, y) des Gitters zeichnen wir ein Geradenstück durch (x, y), das die Steigung φ(x, y) besitzt. Dann verläuft der Graph einer Lösung von y′ = φ(x, y) entlang dieser Geradenstücke, d. h., die Geradenstücke, die den Graphen von f berühren, sind Tangentenstücke der Funktion.
Wir betrachten zwei Beispiele.
Visualisierung der Differentialgleichung
y′ = y/2 + x/4, x, y ∈ ℝ
Gezeigt ist zudem die Lösung
f (x) = ex/2 − x/2 − 1, x ∈ ℝ
des zugehörigen AWP mit „y(0) = 0“.
Wir werden unten sehen, wie diese Lösung gefunden werden kann.
Visualisierung der Differentialgleichung
y′ = (x y2)/100, x, y ∈ ℝ
Das zugehörige AWP mit „y(0) = −10“ wird durch
f (x) = −200/(x2 + 20), x ∈ ℝ,
gelöst. Auch hier werden wir ein Lösungsverfahren kennenlernen.
Statt der Geradenstücke können wir gleichwertig auch Richtungsvektoren verwenden, sodass ein zweidimensionales Vektorfeld auf P entsteht. Diese Überlegungen motivieren die folgende Definition.
Definition (Richtungsfeld)
Sei y′ = φ(x, y), φ : P → ℝ, eine Differentialgleichung. Dann heißt das Vektorfeld φ* : P → ℝ2 mit
φ*(x, y) = (1, φ(x, y))∥ (1, φ(x, y)) ∥ für alle (x, y) ∈ P
das (normierte) Richtungsfeld der Differentialgleichung.
Zeichnen wir Richtungsfelder oder verwandte Visualisierungen, so sehen wir die Lösungen der Differentialgleichung näherungsweise vor Augen. Manchmal kann man die Lösungen so bereits erraten. Aber auch wenn dies nicht möglich ist, gibt uns die graphische Darstellung oft wertvolle Informationen, zum Beispiel über den Definitionsbereich eines Anfangswertproblems oder über das asymptotische Verhalten der Lösungen.